Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1，（a≠0）．
（1）當a=1時，求f（x）的圖象在x=1處的切線方程；
（2）當a＜0時，求f（x）的單調區(qū)間；
（3）若對于任意x∈（0，+∞），都有f（x）≥0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求出切點坐標，再求出導函數(shù)f′（x）在x=1處的值，即為斜率k，由點斜式寫出切線方程；
（2）求出導數(shù)，由f′（x）＞0和f′（x）＜0解得x的范圍，求出單調區(qū)間；
（3）利用分離變量法，把a表示成關于x的不等式，構造關于x的函數(shù)g（x），a≥g（x）恒成立，即a≥g（x）_max，利用導數(shù)求出g（x）的最大值，從而求出a的取值班范圍．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=x³-3x²+1，f（1）=-1，∴切點為（1，-1）
f′（x）=3x²-6x，f′（1）=-3，切線斜率為-3，切線方程為：y=-3（x-1）-1，即：3x+y-2=0；
（2）f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）=3ax(x-

2

a

)，∵a＜0，
∴當x∈(-∞，

2

a

)∪（0，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，當經(jīng)x∈(

2

a

，0)時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
即：f（x）的單調增區(qū)間為：(

2

a

，0)，單調減區(qū)間為當(-∞，

2

a

)和（0，+∞）；
（3）f（x）=ax³-3x²+1≥0⇒a≥

3x2-1

x3

，
令g（x）=

3x2-1

x3

（x＞0），g′(x)=

3(1-x2)

x4

∴當x∈（0，1）時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，當x∈（1，+∞）時g′（x）＜0，g（x）單調遞減，∴當x=1時g（x）有最大值，且最大值為g（1）=2
a≥2，即a的取值范圍為[2，+∞）．

點評：本題考查了切線方程，函數(shù)的單調區(qū)間，最值，運用了等價轉化，函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．