Question

已知A、B、C、D是同一個球面上的四點(diǎn)，且每兩點(diǎn)之間的距離都等于2，則該球的半徑是

 

，球心到平面BCD的距離是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,球內(nèi)接多面體

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)O為四面體ABCD外接球的球心，過A作AH⊥BCD于H，則O在AH上，延長BH交BC于E，連接OB、AE．可算出四面體的高AH=

2 6

3

，根據(jù)Rt△BOH∽Rt△AEH，得OH=

1

3

BO，即可求出球心到平面BCD的距離．

解答： 解：設(shè)O為四面體ABCD外接球的球心，過A作AH⊥BCD于H，則O在AH上
延長BH交BC于E，連接OB、AE
∵等邊三角形BCD中，H為中心
∴BE⊥CD且E為CD的中點(diǎn)，可得BE=AE=

3

2

AB=

3

∴BH=

2 3

3

，得Rt△ABH中，AH=

2 6

3

又∵Rt△BOH∽Rt△AEH
∴

OH

BO

=

EH

AE

，結(jié)合EH=

1

3

BE=

1

3

AE得OH=

1

3

BO
∵AO=BO=R，（R是外接球半徑）
∴OH=

1

4

AH=

6

6

，即球心到平面BCD的距離等于

6

6

，
∴OA=AH-OH=

6

2

故答案為：

6

2

，

6

6

．

點(diǎn)評：本題給出正四面體的棱長，求它的外接球心到底面的距離，著重考查了正四面體的性質(zhì)和多面體的外接球等知識點(diǎn)，屬于中檔題．