【題目】已知頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線,焦點(diǎn)在軸上,直線與拋物線交于、兩點(diǎn),且線段的中點(diǎn)為.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)若直線與拋物線交于異于原點(diǎn)的、兩點(diǎn),交軸的正半軸于點(diǎn),且有,直線,且和有且只有一個(gè)公共點(diǎn),請(qǐng)問(wèn)直線是否恒過(guò)定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)是,直線過(guò)定點(diǎn).
【解析】
(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,求出點(diǎn)的坐標(biāo),將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程,求出的值,由此可求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn),,,由條件可得出,可求出直線的斜率,由此可設(shè)直線的方程為,與拋物線的方程聯(lián)立,由可得出,分與兩種情況討論,求出直線的方程,即可得出直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).
(1)由題意設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,
因?yàn)?/span>的中點(diǎn)為,所以的坐標(biāo)為,
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程,得,可得,
因此,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為;
(2)由(1)知,設(shè),,
因?yàn)?/span>,則,
由,可得,即,所以,直線的斜率,
因?yàn)橹本,設(shè)直線的方程為,
代入拋物線的方程可得,
因?yàn)榍?/span>和有且只有一個(gè)公共點(diǎn),可得,解得,
設(shè),則,,即,
當(dāng)時(shí),,
可得直線的方程為,
由時(shí),代入整理,即直線恒過(guò)定點(diǎn);
當(dāng),直線的方程為,過(guò)點(diǎn),
綜上,可知直線過(guò)定點(diǎn).
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【題目】已知函數(shù),
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),證明曲線分別在點(diǎn)和點(diǎn)處的切線為不同的直線;
(3)已知過(guò)點(diǎn)能作曲線的三條切線,求,所滿足的條件.
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【題目】如圖所示,三棱錐S一ABC中,△ABC與△SBC都是邊長(zhǎng)為1的正三角形,二面角A﹣BC﹣S的大小為,若S,A,B,C四點(diǎn)都在球O的表面上,則球O的表面積為( )
A.πB.πC.πD.3π
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【題目】現(xiàn)有9位身高各異的同學(xué)拍照留念,分成前后兩排,前排4人,后排5人,要求每排同學(xué)的身高從中間到兩邊依次遞減,則不同的排隊(duì)方式有________種.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的圖象的一個(gè)最高點(diǎn)為(),與之相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心為,將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象,則( )
A.g(x)為偶函數(shù)
B.g(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為
C.g(x)為奇函數(shù)
D.函數(shù)g(x)在上有兩個(gè)零點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】由甲乙兩位同學(xué)組成一個(gè)小組參加年級(jí)組織的籃球投籃比賽,共進(jìn)行兩輪投籃,每輪甲乙各自獨(dú)立投籃一次,并且相互不受影響,每次投中得2分,沒投中得0分.已知甲同學(xué)每次投中的概率為,乙同學(xué)每次投中的概率為
(1)求第一輪投籃時(shí),甲乙兩位同學(xué)中至少有一人投中的概率;
(2)甲乙兩位同學(xué)在兩輪投籃中,記總得分為隨機(jī)變量ξ,求ξ的分布列和期望.
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【題目】已知拋物線C:y2=2x,過(guò)點(diǎn)E(a,0)的直線l與C交于不同的兩點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),且滿足y1y2=﹣4,以Q為中點(diǎn)的線段的兩端點(diǎn)分別為M,N,其中N在x軸上,M在C上,則a=_____.|PM|的最小值為_____.
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【題目】如圖在四棱錐中,平面底面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,,,,.
(1)證明:.
(2)求平面PCD與平面PAB夾角(銳角)的余弦值.
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【題目】定義在上的函數(shù)若滿足:①對(duì)任意、,都有;②對(duì)任意,都有,則稱函數(shù)為“中心捺函數(shù)”,其中點(diǎn)稱為函數(shù)的中心.已知函數(shù)是以為中心的“中心捺函數(shù)”,若滿足不等式,當(dāng)時(shí),的取值范圍為( )
A. B. C. D.
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