Question

【題目】已知頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線，焦點(diǎn)在軸上，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為．

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）若直線與拋物線交于異于原點(diǎn)的、兩點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，且有，直線，且和有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)直線是否恒過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，直線過(guò)定點(diǎn).

【解析】

（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，求出的值，由此可求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，，，由條件可得出，可求出直線的斜率，由此可設(shè)直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，由可得出，分與兩種情況討論，求出直線的方程，即可得出直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）由題意設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

因?yàn)?/span>的中點(diǎn)為，所以的坐標(biāo)為，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，得，可得，

因此，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）由（1）知，設(shè)，，

因?yàn)?/span>，則，

由，可得，即，所以，直線的斜率，

因?yàn)橹本€，設(shè)直線的方程為，

代入拋物線的方程可得，

因?yàn)榍?/span>和有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，可得，解得，

設(shè)，則，，即，

當(dāng)時(shí)，，

可得直線的方程為，

由時(shí)，代入整理，即直線恒過(guò)定點(diǎn)；

當(dāng)，直線的方程為，過(guò)點(diǎn)，

綜上，可知直線過(guò)定點(diǎn)．