Question

已知函數(shù)f(x)=

-(x-1)2，(x＜1) (3-a)x+4a，(x≥1)

為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

-1≤a＜3

．

Answer 1

分析：根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的定義可知，必須保證每個(gè)函數(shù)單調(diào)遞增，且當(dāng)x=1時(shí)，f（1）≥0，解不等式即可．

解答：解：∵當(dāng)x＜1時(shí)，函數(shù)f（x）=-（x-1）²為增函數(shù)，且此時(shí)f（x）＜0．
∴要使f（x）在R上是增函數(shù)，則當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=（3-a）x+4a，為增函數(shù)，
且此時(shí)函數(shù)f（x）的最小值f（1）≥0，（如圖）
即

3-a＞0 f(1)≥0

，
即

a＜3 3-a+4a≥0

，
∴

a＜3 a≥-1

，解得-1≤a＜3．
故答案為：-1≤a＜3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)的應(yīng)用，分段函數(shù)遞增要求每個(gè)函數(shù)都必須滿足單調(diào)遞增，且在端點(diǎn)處數(shù)值大小也存在相應(yīng)的大小關(guān)系．