Question

已知函數(shù)f（x）=

x

x+1

，若數(shù)列{a_n}（n∈N^*）滿足：a₁=1，a_n+1=f（a_n）
（1）設(shè)b_n=

1

an

，求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足：c_n=

2n

an

，求數(shù)列{c_n}的前n項的和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出an=

an-1

an-1+1

，從而得到b_n=

1

an

=

an-1+1

an-1

=1+

1

an-1

，由此能夠證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
（2）由（1）知

1

an

-

1

an-1

=1，a₁=1，從而得到

1

an

=n，由此能求出an=

1

n

．
（3）由Cn=2nn，利用錯位相減求和法能求出數(shù)列{c_n}的前n項的和S_n．

解答： （1）證明：∵數(shù)f（x）=

x

x+1

，數(shù)列{a_n}（n∈N^*）滿足：a₁=1，a_n+1=f（a_n），
∴a_n+1=

an

an+1

，∴an=

an-1

an-1+1

，
∴b_n=

1

an

=

an-1+1

an-1

=1+

1

an-1

，
∴b_n-b_n-1=

1

an

-

1

an-1

=1，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
（2）解：由（1）知

1

an

-

1

an-1

=1，a₁=1，
∴{

1

an

}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴

1

an

=n，∴an=

1

n

．
（3）解：∵an=

1

n

，c_n=

2n

an

，∴Cn=2nn，
∴S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=-2-（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴Sn=(n-1)2n+1+2．

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的通項公式的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運用．