Question

（本小題滿分14分）
已知直線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作直線垂直于軸,動(dòng)點(diǎn)在上,且滿足
(為坐標(biāo)原點(diǎn)),記點(diǎn)的軌跡為.
（1）求曲線的方程；
（2）若直線是曲線的一條切線, 當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最短時(shí),求直線的方程. 

Answer 1

（1）.  (2) 或.

本試題主要是考查了軌跡方程的求解，以及直線與拋物線位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。
（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為.
∵, ∴，得到關(guān)系式。
（2）直線與曲線相切,∴直線的斜率存在.
設(shè)直線的方程為,與拋物線聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線的距離公式得到結(jié)論。
(1)解:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為.
∵, ∴. 
當(dāng)時(shí),得,化簡得.   …… 2分
當(dāng)時(shí), 、、三點(diǎn)共線，不符合題意，故.
∴曲線的方程為.         …… 4分
(2) 解法1:∵ 直線與曲線相切,∴直線的斜率存在.
設(shè)直線的方程為,      …… 5分
由 得.
∵ 直線與曲線相切,
∴,即.       …… 6分
點(diǎn)到直線的距離       …… 7分
                  …… 8分
                 …… 9分
.                                  …… 10分
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.此時(shí).  ……12分
∴直線的方程為或.                …… 14分
解法2：利用導(dǎo)數(shù)求切線。