(理)已知點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離的2倍．記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)斜率為的直線與曲線交于兩個(gè)不同點(diǎn)，若直線不過點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，求的數(shù)值；
(3)試問：是否存在一個(gè)定圓，與以動(dòng)點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓相內(nèi)切？若存在，求出這個(gè)定圓的方程；若不存在，說明理由．

（1）；（2）0；（3）存在，定圓的方程為：.

解析試題分析：（1）本題是求方程問題，由于沒有告訴我們是什么曲線，因此我們可根據(jù)已知條件采取直接法求方程，由已知可得，然后化簡(jiǎn)即可；（2）這是直線與圓錐曲線相交問題，解題方法是設(shè)直線方程為（注意，知道為什么嗎？），與曲線方程聯(lián)立方程組，并消去得到關(guān)于的二次方程，如果設(shè)，則可得（用表示），而
變形后表示成的式子，再把剛才的表達(dá)式代入計(jì)算應(yīng)該就能得到結(jié)論；（3）假設(shè)存在這個(gè)定圓與動(dòng)圓內(nèi)切，則圓心距為兩圓半徑之差，從而與兩圓中的某個(gè)圓的半徑之和或差為定值（定圓的半徑），由于點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，這時(shí)聯(lián)想橢圓的定義，若是橢圓的左焦點(diǎn)，則就有是常數(shù)，故定圓是以為圓心，4為半徑的圓.
試題解析：(1)由題知，有.
化簡(jiǎn)，得曲線的方程：．
(2)∵直線的斜率為，且不過點(diǎn)，
∴可設(shè)直線：．
聯(lián)立方程組得．
又交點(diǎn)為，
∴．
∴
(3)答：一定存在滿足題意的定圓.
理由：∵動(dòng)圓與定圓相內(nèi)切，
∴兩圓的圓心之間距離與其中一個(gè)圓的半徑之和或差必為定值.
又恰好是曲線(橢圓)的右焦點(diǎn)，且是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，
記曲線的左焦點(diǎn)為，聯(lián)想橢圓軌跡定義，有，
∴若定圓的圓心與點(diǎn)重合，定圓的半徑為4時(shí)，則定圓滿足題意.
∴定圓的方程為：.
考點(diǎn)：（1）求曲線方程；（2）直線與橢圓相交與定值問題；（3）兩圓內(nèi)切與橢圓的定義.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓，過點(diǎn)且離心率為.

（1）求橢圓的方程；
（2）已知是橢圓的左右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足，連接AM交橢圓于點(diǎn)P，在x軸上是否存在異于A、B的定點(diǎn)Q,使得直線BP和直線MQ垂直.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＋＝1的離心率為，左焦點(diǎn)為F(－1，0)，
(1)設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為k的直線L與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若，求直線L的方程；
(2)橢圓C上是否存在三點(diǎn)P，E，G，使得S△OPE＝S△OPG＝S△OEG＝？

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橢圓c：（a>b>0）的離心率為，過其右焦點(diǎn)F與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為1，
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的左右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P是直線x=1上的動(dòng)點(diǎn)，直線PA與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為M，直線PB與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N，求證：直線MN經(jīng)過一定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，離心率，又橢圓上的任一點(diǎn)到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若平行于軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)、，過、兩點(diǎn)作圓心為的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓外.求的面積的最大值.

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已知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)為拋物線上的一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為，.
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)為拋物線上不同于的兩點(diǎn)，且，過兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，記兩切線的交點(diǎn)為，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率，長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分別為，.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn).
求證：以為直徑的圓過定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，圓與直線相切于點(diǎn)，與正半軸交于點(diǎn)，與直線在第一象限的交點(diǎn)為.點(diǎn)為圓上任一點(diǎn)，且滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為曲線．

（1）求圓的方程及曲線的方程；
（2）若兩條直線和分別交曲線于點(diǎn)、和、，求四邊形面積的最大值，并求此時(shí)的的值．
（3）證明：曲線為橢圓，并求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，是橢圓上不同的三點(diǎn)，，，在第三象限，線段的中點(diǎn)在直線上．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上（異于點(diǎn)，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點(diǎn)，證明為定值并求出該定值．

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