Question

【題目】已知橢圓:的左右焦點(diǎn)分別為，，左頂點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過原點(diǎn)且與軸不重合的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)，，.求證：以為直徑的圓恒過交點(diǎn)，，并求出面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，且△的面積為，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得橢圓的方程；（Ⅱ）直線的方程為，設(shè)點(diǎn)（不妨設(shè)），則點(diǎn)，由，消去得，所以，，可證明，，同理，則以img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2018/10/05/10/304d3c4b/SYS201810051001336893528698_DA/SYS201810051001336893528698_DA.024.png" width="29" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />為直徑的圓恒過焦點(diǎn)，，可得，進(jìn)而可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ），，

又點(diǎn)在橢圓上，，，

解得，或（舍去），又，，

所以橢圓的方程為；

（Ⅱ），，，

方法一：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，則，， ，，則以為直徑的圓恒過焦點(diǎn)，，

當(dāng)的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為，

設(shè)點(diǎn)（不妨設(shè)），則點(diǎn)，

由，消去得，所以，，

所以直線的方程為，

因?yàn)橹本�與軸交于點(diǎn)，令得，

即點(diǎn)，同理可得點(diǎn)，

，，

，同理，

則以為直徑的圓恒過焦點(diǎn)，，

當(dāng)的斜率存在且不為零時(shí)，

，

△面積為，

又當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，△面積為，

△面積的取值范圍是．

方法二：當(dāng)，不為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，設(shè)，

則，由點(diǎn)在橢圓上， ，

所以直線的方程為，令得，

即點(diǎn)，同理可得點(diǎn)，

以為直徑的圓可化為，

代入，化簡(jiǎn)得，

令解得

以為直徑的圓恒過焦點(diǎn)，，

，又，,

△面積為，

當(dāng)，為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，，△面積為，

△面積的取值范圍是．