Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+3若f（x）在區(qū)間[1，4]上為單調(diào)函數(shù)，則a的范圍是

 

；
變式為：已知函數(shù)f（x）=x²+ax+3
（1）若y=f（x）在區(qū)間[1，4]有最大值10，則a的值為

 

；
（2）若f（x）=0在區(qū)間[1，4]內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則a的范圍為

 

．；
（3）若f（x）=0在區(qū)間[1，4]內(nèi)有解．則a的范圍為

 

；
（4）若y=f（x）在區(qū)間[1，4]內(nèi)存在x₀，使f（x₀）＞0，則a的范圍為

 

；
（5）若y=f（x）在區(qū)間[1，4]上恒為正數(shù)，則a的范圍為

 

；
（6）設(shè)A={x|f（x）≤0}，B=[1，4]，若A≠B且A∩B=A，則a的范圍為

 

；
（7）設(shè)A={x|f（x）≤0}，B=[1，4]，若B⊆A，則a的范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,元素與集合關(guān)系的判斷

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，-

a

2

≤1或-

a

2

≥4，則a≥-2或a≤-8，
（1）f（x）=x²+ax+3在區(qū)間[1，4]的最大值在1或4上取得，故驗(yàn)證即可；
（2）由二次函數(shù)根的位置判斷可得

f(1)=1+a+3≥0 f(4)=16+4a+3≥0 △=a2-12＞0 1＜- a 2 ＜4

，從而求得；
（3）分兩根都在[1，4]與有一根在[1，4]上討論，從而求解；
（4）由（1）知，f（1）或f（4）＞0即可；
（5）對(duì)任意x∈[1，4]，x²+ax+3＞0可化為a＞-x-

3

x

，從而求解；
（6）分A=∅與A不是空集討論；
（7）結(jié)合二次函數(shù)的圖象解得．

解答： 解：由題意，-

a

2

≤1或-

a

2

≥4，
則a≥-2或a≤-8，
（1）∵y=f（x）在區(qū)間[1，4]有最大值10，
∴1+a+3=10或16+4a+3=10，
經(jīng)驗(yàn)證，a=-

9

4

；
（2）由題意可得，

f(1)=1+a+3≥0 f(4)=16+4a+3≥0 △=a2-12＞0 1＜- a 2 ＜4

，
解得，-4≤a＜-2

3

；
（3）由（2）知，若兩根都在[1，4]上，
則-4≤a≤-2

3

，
則若有一根在[1，4]上，則
（a+4）（4a+19）≤0，
則-

19

4

≤a≤-4，
故-

19

4

≤a≤-2

3

，
（4）y=f（x）在區(qū)間[1，4]內(nèi)存在x₀，使f（x₀）＞0，可化為
1+a+3＞0或16+4a+3＞0，
則a＞-

19

4

；
（5）對(duì)任意x∈[1，4]，x²+ax+3＞0可化為a＞-x-

3

x

；
∵-x-

3

x

≤-2

3

，則a＞-2

3

；
（6）∵A是[1，4]的真子集，則△＜0或

f(1)≥0 f(4)≥0 1≤- a 2 ≤4 △≥0

，
解得，-4≤a＜2

3

．
（7）∵[1，4]⊆A，
∴

f(1)≤0 f(4)≤0

，
解得，a≤-

19

4

．
故答案為：a≥-2或a≤-8，-

9

4

，-4≤a＜-2

3

，-

19

4

≤a≤-2

3

，a＞-

19

4

，a＞-2

3

，-4≤a＜2

3

，a≤-

19

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與二次方程及二次不等式的聯(lián)系，屬于中檔題．