Question

對某班級50名同學(xué)一年來參加社會實(shí)踐的次數(shù)進(jìn)行的調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下頻率分布表：

參加次數(shù)	0	1	2	3
人數(shù)	0.1	0.2	0.4	0.3

根據(jù)上表信息解答以下問題：
（Ⅰ）從該班級任選兩名同學(xué)，用η表示這兩人參加社會實(shí)踐次數(shù)之和，記“函數(shù)f（x）=x²-ηx-1在區(qū)間（4，6）內(nèi)有零點(diǎn)”的事件為A，求A發(fā)生的概率P；
（Ⅱ）從該班級任選兩名同學(xué)，用ξ表示這兩人參加社會實(shí)踐次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由題意有函數(shù)f（x）=x²-ηx-1在區(qū)間（4，6）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式組解出，在有互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率公式求解即可；
（Ⅱ）由題意利用ξ表示這兩人休年假次數(shù)之差的絕對值，利用隨機(jī)變量的定義及隨機(jī)變量分布列的定義列出隨機(jī)變量ξ的分布列，在利用隨機(jī)變量期望的定義求出其期望．

解答： 解：（Ⅰ） 函數(shù)f（x）=x²-ηx-1在（

η

2

，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
若在區(qū)間（4，6）上有零點(diǎn)的條件是

f(4)＜0 f(6)＞0

，
即：

16-4η-1＜0 36-6η-1＞0

解得：

15

4

＜η＜

35

6

，
所以，η=4或η=5；…（3分）
P（η=4）=

C 2 20 + C 1 10 • C 1 15

C 2 50

=

68

245

，
P（η=5）=

C 1 20 • C 1 15

C 2 50

=

60

245

，…（5分）
η=4與η=5為互斥事件，由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率公式得：
P=P（η=4）+P（η=5）=

128

245

，…（6分）
（Ⅱ） 根據(jù)頻率分布得到頻數(shù)分布：

參加次數(shù)	0	1	2	3
參加人數(shù)	5	10	20	15

從該班級任選兩名同學(xué)，用ξ表示這兩人參加社會實(shí)踐次數(shù)之差的絕對值，則ξ的可能取
值分別是0，1，2，3，…（9分）
于是：
P（ξ=0）=

C 2 5 + C 2 10 + C 2 20 + C 2 15

C 2 50

=

2

7

，
P（ξ=1）=

C 1 5 • C 1 10 + C 1 10 •C 1 20 + C 1 15 • C 1 20

C 2 50

=

22

49

，
P（ξ=2）=

C 1 5 • C 1 20 + C 1 10 • C 1 15

C 2 50

=

10

49

，
P（ξ=3）=

C 1 5 • C 1 15

C 2 50

=

3

49

，…（11分）
從而ξ的分布列如下表：

ξ	0	1	2	3
P	2 7	22 49	10 49	3 49

ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=1×

22

49

+2×

10

49

+3×

3

49

=

51

49

． …（13分）

點(diǎn)評：此題考查了學(xué)生對于題意的理解能力及計(jì)算能力，還考查了互斥事件一個(gè)發(fā)生的概率公式及離散型隨機(jī)變量的定義及其分布列和期望的定義與計(jì)算．