Question

已知集合P={x|

1

2

≤x≤3}，函數(shù)f（x）=log₂（ax²-2x+2）的定義域為Q．
（1）若實數(shù)a=-

3

2

，則P∩Q=

 

；
（2）若實數(shù)a＜-6，則P∩Q=

 

．

Answer 1

考點：交集及其運算

專題：集合

分析：（1）把a=-

3

2

代入不等式ax²-2x+2＞0，求解不等式得集合Q，然后取交集得答案；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=ax²-2x+2，由a得范圍可知其對稱軸的位置，再由二次函數(shù)的圖象開口向下，結(jié)合x=

1

2

時函數(shù)g（x）的值小于0，可知集合Q的右端點小于

1

2

，由此得到P∩Q=∅．

解答： 解：（1）由函數(shù)f（x）=log₂（ax²-2x+2）的定義域為Q，a=-

3

2

，
得Q={x|ax²-2x+2＞0}={x|-

3

2

x2-2x+2＞0}={x|-2＜x＜

2

3

}．
∴P∩Q={x|

1

2

≤x≤3}∩{x|-2＜x＜

2

3

}=[

1

2

，

2

3

）．
故答案為：[

1

2

，

2

3

）；
（2）P={x|

1

2

≤x≤3}，
∵a＜-6，
∴函數(shù)g（x）=ax²-2x+2的圖象開口向下，對稱軸方程為x=

1

a

∈(-

1

6

，0)，
而g(

1

2

)=

a

4

+1＜-

6

4

+1=-

1

2

，
∴集合Q的右端點小于

1

2

，
則P∩Q=∅．
故答案為：∅．

點評：本題考查了交集及其運算，考查了不等式的解法，訓(xùn)練了利用“三個二次”的結(jié)合分析不等式的解集問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．