Question

已知函數(shù)f(x)=a(cos2

x

2

+

1

2

sinx)+b．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)a＜0，且x∈[

π

2

，π]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇4，6]，求a，b的值．

Answer 1

分析：將函數(shù)f（x）解析式括號(hào)中第一項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，
（1）將a的值代入f（x）解析式中，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，（k∈Z），列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由x的范圍，求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出正弦函數(shù)的值域，確定出f（x）的值域，由已知函數(shù)的值域，根據(jù)a小于0，判斷出a+b小于b，列出關(guān)于a與b的方程組，求出方程組的解即可得到a與b的值．

解答：解：f（x）=a（cos²

x

2

+

1

2

sinx）+b=

a

2

（cosx+sinx）+

a

2

+b=

2 a

2

sin（x+

π

4

）+

a

2

+b，
（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=

2

sin（x+

π

4

）+b+1，
令2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，（k∈Z），解得：2kπ+

π

4

≤x≤2kπ+

5π

4

，（k∈Z），
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]（k∈Z）；
（2）∵x∈[

π

2

，π]，∴x+

π

4

∈[

3π

4

，

5π

4

]，
∴sin（x+

π

4

）∈[-

2

2

，

2

2

]，
∵a＜0，
∴

a+b=4 b=6

，
解得：a=-2，b=6．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及三角函數(shù)的最值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．