Question

已知函數(shù)f(x)=

ax+b

x2+1

是（-1，1）上的奇函數(shù)，且f(

1

2

)=5．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)性；
（3）解關(guān)于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義建立方程，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)性；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式即可．

解答：解：（1）由f（x）為奇函數(shù)，
∴f(0)=

b

1

=0，得b=0，
此時(shí)f(x)=

ax

x2+1

滿足f（-x）=-f（x）適合題意，所以b=0成立．
∵f(

1

2

)=

a 2

1+ 1 4

=5，
∴a=

25

2

，
∴f(x)=

25

2

•

x

1+x2

．
（2）任取-1＜x₁＜x₂＜1，
f(x2)-f(x1)=

25 2 x2

1+x22

-

25 2 x1

1+x12

=

25

2

(x2-x1)(1-x1x2)

(1+x22)(1+x12)

∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₂-x₁＞0，1-x₁x₂＞0，
得f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）單調(diào)遞增；              
（3）∵f（t-1）+f（t）＜0，
∴f（t-1）＜-f（t）
又f（x）是（-1，1）上的奇函數(shù)，
故f（t-1）＜f（-t），
∵f（x）在（-1，1）單調(diào)遞增，
∴

-1＜t-1＜1 -1＜t＜1 t-1＜-t

，
解得0＜t＜

1

2

故關(guān)于t的不等式的解集為(0，

1

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用和函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，要求熟練掌握函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義和應(yīng)用．