【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列．

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）記數(shù)列的前n項和為Tn，求證： Tn＜1．

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（Ⅰ）由已知數(shù)列遞推式得到an=2an﹣1（n≥2），再由已知a1，a2+1，a3成等差數(shù)列求出數(shù)列首項，可得數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則其通項公式可求；

（Ⅱ）由（Ⅰ）求出數(shù)列的通項公式，再由等比數(shù)列的前n項和求得T，再利用單調(diào)性求出T的范圍.

(1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．從而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.

又因為a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2.

所以數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．

故an＝2n.

(2)由(1)得＝，所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.

由1－.在自然數(shù)集上遞增，可得n=1時取得最小值，

且1－＜1，

則≤Tn＜1．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】矩形的兩條對角線相交于點， 邊所在直線的方程為，點在邊所在直線上．

（Ⅰ）求邊所在直線的方程；

（Ⅱ）求矩形外接圓的方程；

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義為n個正數(shù)的“均倒數(shù)”．已知正項數(shù)列{an}的前n項的“均倒數(shù)”為．

（1）求數(shù)列{an}的通項公式．

（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，若4<對一切恒成立試求實數(shù)m的取值范圍．

(3)令，問：是否存在正整數(shù)k使得對一切恒成立，如存在求出k值，否則說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】閱讀下面材料，完成數(shù)學(xué)問題．

我校高二文科班的同學(xué)到武昌農(nóng)民運動講習(xí)所研學(xué)的途中路過武漢長江大橋邊的武昌長江大堤，同學(xué)們在大堤上看到與武昌隔江相對的漢陽龜山上的電視塔和漢陽江邊的晴川飯店在朝陽的映照下顯得非常美麗，紛紛拿出手機拍照。這時帶隊的老師問大家，我要站在武昌大堤的哪一點才能夠同時拍下電視塔和晴川飯店最清晰的圖像？聽到這個問題后，同學(xué)們議論紛紛。討論一會后，一個同學(xué)對大家說：“把電視塔看成點A，飯店看成點B，武昌大堤看成直線l，C是直線l上的動點，拍照最佳點就是直線上使∠ACB最大的點．使∠ACB最大的點的求法用初中數(shù)學(xué)的一個定理：過點A，B作與直線l相切的圓，半徑較小的圓和直線l的切點就是直線l上使∠ACB最大的點�！崩蠋熀屯瑢W(xué)們聽了拍手稱對�；氐綄W(xué)校后，一位同學(xué)利用百度地圖測距功能測得點A到直線l距離是2km，點B到直線l距離是1.5km，A，B兩點間的距離是1km．該同學(xué)以直線l為x軸，過A點和直線l垂直的直線為y軸建立了如圖所示的坐標系，點A的坐標為(0, 2)，點B在第一象限．根據(jù)以上材料，請在所給的坐標系中，在x軸上求使∠ACB最大的點的坐標．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓E： （a＞b＞0）的左、右焦點F1、F2 ， 其離心率e= ，且點F2到直線 =1的距離為 ．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)點P（x0 ， y0）是橢圓E上的一點（x0≥1），過點P作圓（x+1）2+y2=1的兩條切線，切線與y軸交于A、B兩點，求|AB|的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點，點的坐標為.

（1）當與軸垂直時，求直線的方程；

（2）設(shè)為坐標原點，證明：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】有下列四個命題：
①垂直于同一條直線的兩條直線平行；
②垂直于同一條直線的兩個平面平行；
③垂直于同一平面的兩個平面平行；
④垂直于同一平面的兩條直線平行．
其中正確的命題有（填寫所有正確命題的編號）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將函數(shù)f（x）=sin2x+ cos2x圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將圖象上所有點向右平移 個單位長度，得到函數(shù)g （x）的圖象，則g（x）圖象的一條對稱軸方程是（ ）
A.x=一
B.x=
C.x=
D.x=

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知過點A（0，4），且斜率為的直線與圓C：，相交于不同兩點M、N.

（1）求實數(shù)的取值范圍；

（2）求證：為定值；

（3）若O為坐標原點，問是否存在以MN為直徑的圓恰過點O，若存在則求的值，若不存在，說明理由。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案