Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，且有.當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3時(shí)，為正三角形.

（1）求的方程；

（2）延長交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知點(diǎn)橫坐標(biāo)為的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，列出方程解出；（2）根據(jù)列出方程得出，橫坐標(biāo)的關(guān)系，從而得出的斜率，設(shè)方程，與拋物線方程聯(lián)立，由判別式得出的截距與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用三點(diǎn)共線，即可證明結(jié)論.

試題解析：(1)由題意知，

設(shè)，則的中點(diǎn)為.

因?yàn)?/span>，

由拋物線的定義知，

解得或(舍去)．

由，解得.

所以拋物線的方程為.

(2)設(shè),

由得,所以，則．

設(shè)和拋物線相切，則將代入得

只有1個(gè)根，所以.

又因?yàn)?/span>，三點(diǎn)共線，所以

化簡得，

解得或.

因?yàn)?/span>時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，故舍去，

所以所以.