Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²+ax-2a²lnx（其中a為實數(shù)）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值，求a的值；
（2）若對于任意的x∈（0，1]，都有f（x）≥0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′(x)=x+a-

2a2

x

，f′（1）=1+a-2a²=0，由此能求出a．
（2）由f′(x)=x+a-

2a2

x

=0，得x=a，或x=-2a，由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

x²+ax-2a²lnx，
∴f′(x)=x+a-

2a2

x

，
∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值，
∴f′（1）=1+a-2a²=0，
解得a=-

1

2

或a=1．
（2）由f′(x)=x+a-

2a2

x

=0，
得x=a，或x=-2a，
①x∈（0，1]，當a＞0時，
x∈（a，+∞]，f′（x）＞0；x∈（0，a），f′（x）＜0，
∴f（x）_最小值=f（a）=

1

2

a2+a2-2a2lna=

3

2

a2-2a2lna，
∵對于任意的x∈（0，1]，都有f（x）≥0成立，
∴f（x）_最小值=

3

2

a2-2a2lna≥0，
∴0＜a≤e

3

4

；
②x∈（0，1]，當a=0時，
f（x）=

1

2

x²對于任意的x∈（0，1]，都有f（x）≥0成立，
∴a=0成立；
③x∈（0，1]，當a＜0時，
x∈（-2a，+∞]，f′（x）＞0；x∈（0，-2a），f′（x）＜0，
f（x）_最小值=f（-2a）=2a²-2a²-2a²ln（-2a）=-2a²ln（-2a），
∵對于任意的x∈（0，1]，都有f（x）≥0成立，
∴f（x）_最小值=-2a²ln（-2a）≥0，
解得a≥-

1

2

．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是[-

1

2

，e

3

4

]．

點評：本題重點考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．