Question

【題目】已知橢圓的右焦點為，右準(zhǔn)線為.點是橢圓上異于長軸端點的任意一點，連接并延長交橢圓于點，線段的中點為，為坐標(biāo)原點，且直線與右準(zhǔn)線交于點.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若，求點的坐標(biāo)；

（3）試確定直線與橢圓的公共點的個數(shù)，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）直線與橢圓有且僅有一個公共點，答案見解析.

【解析】

（1）由焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程及求出橢圓的方程；
（2）設(shè),設(shè)過右焦點的直線的方程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，由題意求的坐標(biāo)，再由得到關(guān)系，再由進(jìn)而求出的坐標(biāo)；
（3）設(shè)出的坐標(biāo)，由（2）可得直線的方程為，所以點坐標(biāo)為，可得直線的方程，再與橢圓聯(lián)立，判別式等于0，即得，求出直線與橢圓僅有一個交點．

解：（1）由題意可知，解得，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

（2）設(shè)，

當(dāng)時，點坐標(biāo)為（3，0），點坐標(biāo)為（4，0），.

當(dāng)時，直線的方程為，代入橢圓方程，消去整理得

，

所以中點的橫坐標(biāo)，

縱坐標(biāo).

因為，所以，

所以，

又，得，解得，或，

故點的坐標(biāo)為或.

（3）直線與橢圓有且僅有一個公共點，以下給出證明：

因為直線的方程為，所以點坐標(biāo)為，

所以直線的斜率，

直線的方程為，即，

代入橢圓方程，得，

即，得，解得，

故直線與橢圓有且僅有一個公共點.