如圖,在直角三角形ABC中,AD是斜邊BC上的高,有很多大家熟悉的性質,例如“AB⊥AC”,勾股定理“|AB|2+|AC|2=|BC|2”和“
1
|AD|2
=
1
|AB|2
+
1
|AC|2
”等,由此聯(lián)想,在三棱錐O-ABC中,若三條側棱OA,OB,OC兩兩互相垂直,可以推出哪些結論?至少寫出兩個結論.
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分析:本題考查的知識點是類比推理,在由平面幾何的性質類比推理空間立體幾何性質時,我們常用的思路是:由平面幾何中點的性質,類比推理空間幾何中線的性質;由平面幾何中線的性質,類比推理空間幾何中面的性質;由平面幾何中面的性質,類比推理空間幾何中體的性質;故由:“直角三角形中,直角邊邊長為a,b,斜邊邊長為c,直角三角形具有性質:c2=a2+b2.”(邊的性質),類比到空間可得的結論是“在直角三棱錐中,直角面面積分別為S1,S2,S3,斜面面積為S”,S12+S22+S32=S2
解答:解:(以下僅供參考,不同結論請酌情給分.每個正確結論給(2分),證明給5分)  可以得出有以下結論:
(Ⅰ)三個側面OAB、OAC、OBC兩兩互相垂直(或OA⊥BC、OB⊥AC、OC⊥AB)
(Ⅱ)
1
OH2
=
1
OA2
+
1
OB2
+
1
OC2
(H為△ABC的重心)
(Ⅲ)S△OAB2+S△OAB2+S△OBC2=S△ABC2
以下給出具體的證明:
(1)證明:∵OA⊥OC,OB⊥OC∴OC⊥平面OAB
∴平面OAC⊥平面OAB  平面OBC⊥平面OAB 同理可證平面OBC⊥平面OAC
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(2)證明:如圖連接AH并延長AH交BC于D連接OD
∵OA⊥面OBC∴OA⊥OD
在Rt△ABC中∵OH⊥AD∴OH•AD=AO•OD
∴OH2•AD2=AO2•OD2
又∵AD2=OA2+OD2
1
OH2
=
1
OA2
+
1
OD2

∵AD⊥BC,由三垂線定理得:BC⊥OD
∴在Rt△OBC中  OD2•BC2=BO2•CO2
∴OD2=
BO2•CO2
BC2
又∵BC2=BO2+CO2
1
OD2
=
1
BO2
+
1
CO2
②由①②得:
1
OH2
=
1
OA2
+
1
OB2
+
1
OC2

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(Ⅳ) 證明:如圖(延用(Ⅸ)中的字母a,b,c)∵H為垂心∴AD⊥BC
又∵OA、OB、OC兩兩垂直∴S△OAB=
1
2
ab   S△OBC=
1
2
bc  S△OAC=
1
2
ac  
S△ABC=
1
2
BC•AD
∴S△OAB2+S△OAC2+S△OBC2=
1
4
( a2 b2+b2 c2+a2 c2)=
1
4
a2(b2+c2)+
1
4
b2 c2…①
又∵在Rt△BOC中,OD⊥BC∴OB2•OC2=b2 c2=OD2•BC2=OD2•(b2+c2)…②
∴②代入①得:S△OAB2+S△OBC2+S△OAC2=
1
4
(b2+c2)•AD2=
1
4
BC2•AD2=S△ABC2
點評:類比推理的一般步驟是:(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性;(2)用一類事物的性質去推測另一類事物的性質,得出一個明確的命題(猜想).在由平面圖形的性質向空間物體的性質進行類比時,常用的思路有:由平面圖形中點的性質類比推理出空間里的線的性質,由平面圖形中線的性質類比推理出空間中面的性質,由平面圖形中面的性質類比推理出空間中體的性質.
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精英家教網(wǎng)如圖,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D為BC的中點,|AB|=2
3
,|AC|=
1
2
,以A、B為焦點的橢圓經(jīng)過點C.
(I)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担髾E圓的方程;
(II)是否存在不平行于AB的直線l與(I)中橢圓交于不同兩點M、N,使(
DM
+
DN
)•
MN
=0
?若存在,求出直線l斜率的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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AC
+
BC
BA
的值.

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(2)當A′B⊥CD時,求sinθ的值;
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如圖,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D為BC的中點,數(shù)學公式,數(shù)學公式,以A、B為焦點的橢圓經(jīng)過點C.
(I)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼,求橢圓的方程;
(II)是否存在不平行于AB的直線l與(I)中橢圓交于不同兩點M、N,使數(shù)學公式?若存在,求出直線l斜率的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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