Question

如圖：在直角三角形ABC中，已知AB=a，∠ACB=30°，∠B=90°，D為AC的中點，E為BD的中點，AE的延長線交BC于F，將△ABD沿BD折起，二面角A′-BD-C的大小記為θ．

（1）求證：平面A′EF⊥平面BCD；
（2）當A′B⊥CD時，求sinθ的值；
（3）在（2）的條件下，求點C到平面A′BD的距離．

Answer 1

分析：（1）可以先證明△ABD為等邊三角形，從而可得BD⊥AE，BD⊥EF，根據線面垂直的判定可得BD⊥面AEF，進而根據面面垂直的判定可得面AEF⊥面BCD．
（2）由（1）的證明可得∠A′EF為二面角A-BD-C的平面角．過A作AO⊥面BCD，垂足為O．由于面AEF⊥面BCD，所以O在FE上，連BO交CD延長線于M，從而當AB⊥CD時，由三垂線定理的逆定理得BM⊥CM，由此可求得sinθ的值；
（3）：利用體積相等求點C到平面A′BD的距離即可．

解答：解：（1）證明：由△PBA為Rt△，
∠C=30° AB=

1

2

AC
∵D為AC中點，
∴AD=BD=DC
∵△ABD為正三角形
又∵E為BD中點
∴BD⊥AE’BD⊥EF
又由A’E∩EF=E，
且A’E、EF∈平面A’EF，BD⊥平面A’EF
∴面A’EF⊥平面BCD
（2）由（Ⅰ）的證明可得∠A′EF為二面角A-BD-C的平面角．過A作AO⊥面BCD，垂足為O．
∵面A′EF⊥面BCD，
∴O在FE上，連BO交CD延長線于M，
當A′B⊥CD時，由三垂線定理的逆定理得BM⊥CM，
∴O為翻折前的等邊三角形△ABD的中心．
則OE=

1

3

AE，cosθ=-

1

3

⇒sinθ=

2 2

3

．
因此當A′B⊥CD時，sinθ=

2 2

3

…（7分）
（3）∵S△A′BD=

1

2

•a•a•sin60°=

3

4

a²；
A^′E=

3

2

a，A′O=

2 2

3

AE=

6

3

a，
S_△BCD=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

•a•

3

a=

3

4

a²；
∵VC-A′BD=VA′-BCD
∴

1

3

•h•S△A′BD=

1

3

•A^′O•S_△BCD⇒h=

6

3

a．
即所求距離為：

6

3

a．

點評：本題以平面圖形為載體，考查圖形的翻折，關鍵是搞清翻折前后有關元素的變與不變，考查面面角，考查線面角，關鍵是正確作出相應的角．