Question

如圖，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D為BC的中點(diǎn)，|AB|=2

3

，|AC|=

1

2

，以A、B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C．
（I）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求橢圓的方程；
（II）是否存在不平行于AB的直線l與（I）中橢圓交于不同兩點(diǎn)M、N，使(

DM

+

DN

)•

MN

=0？若存在，求出直線l斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）以AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(-

3

，0)，B(

3

，0)，C(-

3

，

1

2

)，D(0，

1

4

)．
由此可推出所求橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
（II）由題設(shè)知|

DM

|=|

DN

|，設(shè)直線l：y=kx+m（k≠0），

y=kx+m x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，再由根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系可知存在滿足條件的直線l，其斜率的取值范圍是(-

143

2

，0)∪(0，

143

2

)．

解答：解：（I）以AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(-

3

，0)，B(

3

，0)，C(-

3

，

1

2

)，D(0，

1

4

)．
設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，c=

3

，于是

3 a2 + 1 4b2 =1 a2-b2=3

解得

a2=4 b2=1

，
∴所求橢圓方程為

x2

4

+y2=1．（6分）
（II）∵條件(

DM

+

DN

)•

MN

=0等價于|

DM

|=|

DN

|
∴若存在符合條件的直線，該直線的斜率一定存在，否則與點(diǎn)D（0，

1

4

）不在x軸上矛盾．
∴可設(shè)直線l：y=kx+m（k≠0）
由

y=kx+m x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
由△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）＞0得4k²+1＞m²．（10分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)為Q（x₀，y₀），
則x0=

x1+x2

2

=-

4km

1+4k2

，y0=kx0+m=

m

1+4k2

．
∵|

DM

|=|

DN

|，∴

y0- 1 4

x0

=-

1

k

，即

m 1+4k2 - 1 4

- 4km 1+4k2

=-

1

k

．
解得：m=-

1

12

(1+4k2)（12分）
（將點(diǎn)的坐標(biāo)代入(

DM

+

DN

)•

MN

=0亦可得到此結(jié)果）
由4k²+1＞m²，4k2+1＞

1

144

(1+4k2)得4k²＜143
∴k∈(-

143

2

，0)∪(0，

143

2

)
∴存在滿足條件的直線l，其斜率的取值范圍是(-

143

2

，0)∪(0，

143

2

)．（14分）

點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的綜合運(yùn)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的靈活運(yùn)用．