【題目】已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為.直線和兩條漸近線交于點(diǎn),點(diǎn)在第一象限且,是雙曲線上的任意一點(diǎn).

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)是否存在點(diǎn)P使得為直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的個(gè)數(shù);

(3)直線與直線分別交于點(diǎn),證明:以為直徑的圓必過(guò)定點(diǎn).

【答案】(1) (2)4個(gè);(3)證明過(guò)程見(jiàn)解析.

【解析】

(1)根據(jù),可知,根據(jù)題意求出點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù),求出,這樣可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)分類討論以三點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)能否構(gòu)成直角三角形,最后確定點(diǎn)P的個(gè)數(shù);

(3)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),根據(jù)三點(diǎn)共線,結(jié)合斜率公式可以求出點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可求出以為直徑的圓,最后根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,可以判斷出該圓所過(guò)的定點(diǎn).

(1)因?yàn)?/span>,所以,雙曲線的漸近線方程為:,由題意可知:

,所以,因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:;

(2)因?yàn)橹本的斜率為,所以與直線垂直的直線的斜率為,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為:,則有.

當(dāng)時(shí),所以,解得此時(shí)存在2個(gè)點(diǎn);

當(dāng)時(shí),所以,,解得,此時(shí)存在2個(gè)點(diǎn);

當(dāng)時(shí),此時(shí)點(diǎn)是以線段為直徑圓上,圓的方程為:,與雙曲線方程聯(lián)立,無(wú)實(shí)數(shù)解,

綜上所述:點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4個(gè);

(3)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,.

因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線,所以直線的斜率相等,

因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線,所以直線的斜率相等,, 所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為:

,所以以為直徑的圓的方程為:,

,因此該圓恒過(guò)兩點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】五位同學(xué)各自制作了一張賀卡,分別裝入5個(gè)空白信封內(nèi),這五位同學(xué)每人隨機(jī)地抽取一封,則恰好有兩人抽取到的賀卡是其本人制作的概率是______________

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為

1)求

2)討論的單調(diào)性;

3)設(shè),證明:

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)討論的單調(diào)性;

(2)若對(duì)于任意的,都有成立,求正整數(shù)k的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知△ABC的內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為ab,c,,

(1)求角A的大;

(2)若a=3,求△ABC的周長(zhǎng)L的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】一個(gè)盒子中裝有大小相同的2個(gè)白球、3個(gè)紅球;現(xiàn)從中先后有放回地任取球兩次,每次取一個(gè)球,看完后放回盒中.

1)求兩次取得的球顏色相同的概率;

2)若在2個(gè)白球上都標(biāo)上數(shù)字1,3個(gè)紅球上都標(biāo)上數(shù)字2,記兩次取得的球上數(shù)字之和為,求的概率分布列與數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)設(shè),判斷函數(shù)上的單調(diào)性,并加以證明;

2)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

3)設(shè)時(shí),的定義域和值域都是,求的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】自由購(gòu)是一種通過(guò)自助結(jié)算購(gòu)物的形式某大型超市為調(diào)查顧客自由購(gòu)的使用情況,隨機(jī)抽取了100人,調(diào)查結(jié)果整理如下

20以下

[20,30)

[30,40)

[40,50)

[50,60)

[60,70]

70以上

使用人數(shù)

3

12

17

6

4

2

0

未使用人數(shù)

0

0

3

14

36

3

0

(Ⅰ)現(xiàn)隨機(jī)抽取1名顧客,試估計(jì)該顧客年齡在且未使用自由購(gòu)的概率;

(Ⅱ)從被抽取的年齡在使用的自由購(gòu)顧客中,隨機(jī)抽取2人進(jìn)一步了解情況,求這2人年齡都在的概率;

(Ⅲ)為鼓勵(lì)顧客使用自由購(gòu),該超市擬對(duì)使用自由購(gòu)顧客贈(zèng)送1個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋若某日該超市預(yù)計(jì)有5000人購(gòu)物,試估計(jì)該超市當(dāng)天至少應(yīng)準(zhǔn)備多少個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)判斷函數(shù)的奇偶性,并說(shuō)明理由;

2)討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案