(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)求f(x)的極值;
(Ⅲ)當(dāng)x∈[-m,m]時(shí),求f(x)最大值.
解:(1)f′(x)=3 ax2+2bx
∵f(x)的圖像與直線15x-y+10=0切于點(diǎn)(-1,-5)
∴ ①
又f(x)在x=4處取得極值,∴48a+8b=0②
由①②得∴
∴f(x)=x3-6x2+2
(Ⅱ)f′(x)=3x2-12x=3x(x-4)
令f′(x)=3x(x-4)=0得x=0,x=4
列表如下:
x | (-∞,0) | 0 | (0,4) | 4 | (4,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 2 | -30 |
從而當(dāng)x=0時(shí),f(x)的極大值為2
從而當(dāng)x=4時(shí),f(x)的極小值為-30
(Ⅲ)據(jù)(Ⅱ)知f(0)=2是極大值,在(4,+∞)內(nèi)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,并且可驗(yàn)證f(6)=2,據(jù)已知條件知m>0
當(dāng)0<m≤6時(shí),f(x)的最大值是f(0)=2
當(dāng)m>6時(shí),f(x)的最大值是m3-6m2+2
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