【題目】如圖,在四面體A﹣BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2 .M是AD的中點(diǎn),P是BM的中點(diǎn),點(diǎn)Q在線段AC上,且AQ=3QC.
(1)證明:PQ∥平面BCD;
(2)若二面角C﹣BM﹣D的大小為60°,求∠BDC的大。
【答案】
(1)取BD的中點(diǎn)O,在線段CD上取點(diǎn)F,使得DF=3CF,連接OP、OF、FQ
∵△ACD中,AQ=3QC且DF=3CF,∴QF∥AD且QF= AD
∵△BDM中,O、P分別為BD、BM的中點(diǎn)
∴OP∥DM,且OP= DM,結(jié)合M為AD中點(diǎn)得:OP∥AD且OP= AD
∴OP∥QF且OP=QF,可得四邊形OPQF是平行四邊形
∴PQ∥OF
∵PQ平面BCD且OF平面BCD,∴PQ∥平面BCD;
(2)過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BD,垂足為G,過(guò)G作GH⊥BM于H,連接CH
∵AD⊥平面BCD,CG平面BCD,∴AD⊥CG
又∵CG⊥BD,AD、BD是平面ABD內(nèi)的相交直線
∴CG⊥平面ABD,結(jié)合BM平面ABD,得CG⊥BM
∵GH⊥BM,CG、GH是平面CGH內(nèi)的相交直線
∴BM⊥平面CGH,可得BM⊥CH
因此,∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角,可得∠CHG=60°
設(shè)∠BDC=θ,可得
Rt△BCD中,CD=BDcosθ=2 cosθ,CG=CDsinθ=2 sinθcosθ,BG=BCsinθ=2 sin2θ
Rt△BMD中,HG= = ;Rt△CHG中,tan∠CHG= =
∴tanθ= ,可得θ=60°,即∠BDC=60°
【解析】(1)取BD的中點(diǎn)O,在線段CD上取點(diǎn)F,使得DF=3CF,連接OP、OF、FQ.根據(jù)平行線分線段成比例定理結(jié)合三角形的中位線定理證出四邊形OPQF是平行四邊形,從而PQ∥OF,再由線面平行判定定理,證出PQ∥平面BCD;(2)過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BD,垂足為G,過(guò)G作GH⊥BM于H,連接CH.根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)證出BM⊥CH,因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角,可得∠CHG=60°.設(shè)∠BDC=θ,用解直角三角形的方法算出HG和CG關(guān)于θ的表達(dá)式,最后在Rt△CHG中,根據(jù)正切的定義得出tan∠CHG= = ,從而得到tanθ= ,由此可得∠BDC.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定,需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】正三角形的邊長(zhǎng)為2,將它沿高翻折,使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為1,此時(shí)四面體外接球的表面積是________________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)正整數(shù)n,記In={1,2,3…,n},Pn={ |m∈In , k∈In}.
(1)求集合P7中元素的個(gè)數(shù);
(2)若Pn的子集A中任意兩個(gè)元素之和不是整數(shù)的平方,則稱A為“稀疏集”.求n的最大值,使Pn能分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在某市組織的一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中全體參賽學(xué)生的成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(60,100),已知成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生有13人.
(1)求此次參加競(jìng)賽的學(xué)生總數(shù)共有多少人?
(2)若計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)排在前228名的學(xué)生,問(wèn)受獎(jiǎng)學(xué)生的分?jǐn)?shù)線是多少?
(參考數(shù)據(jù):若,則;;)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)將100名髙一新生分成水平相同的甲、乙兩個(gè)“平行班”,每班50人.陳老師采用A、B兩種不同的教學(xué)方式分別在甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行教改實(shí)驗(yàn).為了解教學(xué)效果,期末考試后,陳老師對(duì)甲、乙兩個(gè)班級(jí)的學(xué)生成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,畫(huà)出頻率分布直方圖(如下圖).記成績(jī)不低于90分者為“成績(jī)優(yōu)秀”
| 0.05 | 0.01 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(I)從乙班隨機(jī)抽取2名學(xué)生的成績(jī),記“成績(jī)優(yōu)秀”的個(gè)數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(II)根據(jù)頻率分布直方圖填寫(xiě)下面2 x2列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為:“成績(jī)優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān).
甲班(A方式) | 乙班(B方式) | 總計(jì) | |
成績(jī)優(yōu)秀 | |||
成績(jī)不優(yōu)秀 | |||
總計(jì) |
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),(為常數(shù)).
(1)當(dāng)時(shí),判斷在的單調(diào)性,并用定義證明;
(2)若對(duì)任意,不等式恒成立,求的取值范圍;
(3)討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)且當(dāng)x>0,f(x)<0.
給出下列四個(gè)結(jié)論:
①f(0)=0; ②f(x)為偶函數(shù);
③f(x)為R上減函數(shù); ④f(x)為R上增函數(shù).
其中正確的結(jié)論是( 。
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2lnx.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:對(duì)任意的t>0,存在唯一的s,使t=f(s).
(3)設(shè)(2)中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為s=g(t),證明:當(dāng)t>e2時(shí),有 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,已知四邊形BCDE為直角梯形,,,且,A為BE的中點(diǎn)將沿AD折到位置如圖,連結(jié)PC,PB構(gòu)成一個(gè)四棱錐.
Ⅰ求證;
Ⅱ若平面ABCD.
求二面角的大。
在棱PC上存在點(diǎn)M,滿足,使得直線AM與平面PBC所成的角為,求的值.
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