【題目】對(duì)正整數(shù)n,記In={1,2,3…,n},Pn={ |m∈In , k∈In}.
(1)求集合P7中元素的個(gè)數(shù);
(2)若Pn的子集A中任意兩個(gè)元素之和不是整數(shù)的平方,則稱A為“稀疏集”.求n的最大值,使Pn能分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并集.

【答案】
(1)解:對(duì)于集合P7,有n=7.

當(dāng)k=1時(shí),m=1,2,3…,7,Pn={1,2,3…,7},7個(gè)數(shù),

當(dāng)k=2時(shí),m=1,2,3…,7,Pn對(duì)應(yīng)有7個(gè)數(shù),

當(dāng)k=3時(shí),m=1,2,3…,7,Pn對(duì)應(yīng)有7個(gè)數(shù),

當(dāng)k=4時(shí),Pn={ |m∈In,k∈In}=Pn={ ,1, ,2, ,3, }中有3個(gè)數(shù)(1,2,3)

與k=1時(shí)Pn中的數(shù)重復(fù),

當(dāng)k=5時(shí),m=1,2,3…,7,Pn對(duì)應(yīng)有7個(gè)數(shù),

當(dāng)k=6時(shí),m=1,2,3…,7,Pn對(duì)應(yīng)有7個(gè)數(shù),

當(dāng)k=7時(shí),m=1,2,3…,7,Pn對(duì)應(yīng)有7個(gè)數(shù),

由此求得集合P7中元素的個(gè)數(shù)為 7×7﹣3=46


(2)解:先證當(dāng)n≥15時(shí),Pn不能分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并集.假設(shè)當(dāng)n≥15時(shí),

Pn可以分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并集,設(shè)A和B為兩個(gè)不相交的稀疏集,使A∪B=PnIn

不妨設(shè)1∈A,則由于1+3=22,∴3A,即3∈B.同理可得,6∈A,10∈B.又推出15∈A,

但1+15=42,這與A為稀疏集相矛盾.

再證P14滿足要求.當(dāng)k=1時(shí),P14={ |m∈I14,k∈I14}=I14,可以分成2個(gè)稀疏集的并集.

事實(shí)上,只要取A1={1,2,4,6,9,11,13},B1={3,5,7,8,10,12,14},

則A1和B1都是稀疏集,且A1∪B1=I14

當(dāng)k=4時(shí),集合{ |m∈I14}中,除整數(shù)外,剩下的數(shù)組成集合{ , , ,…, },

可以分為下列3個(gè)稀疏集的并:

A2={ , , },B2={ , }.

當(dāng)k=9時(shí),集合{ |m∈I14}中,除整數(shù)外,剩下的數(shù)組成集合{ , , , ,…, , },

可以分為下列3個(gè)稀疏集的并:

A3={ , , , , },B3={ , }.

最后,集合C═{ |m∈I14,k∈I14,且k≠1,4,9}中的數(shù)的分母都是無理數(shù),

它與Pn中的任何其他數(shù)之和都不是整數(shù),

因此,令A(yù)=A1∪A2∪A3∪C,B=B1∪B2∪B3,則A和B是不相交的稀疏集,且A∪B=P14

綜上可得,n的最大值為14


【解析】(1)對(duì)于集合P7 , 有n=7.當(dāng)k=4時(shí),根據(jù)Pn中有3個(gè)數(shù)與In={1,2,3…,n}中的數(shù)重復(fù),由此求得集合P7中元素的個(gè)數(shù).(2)先用反證法證明證當(dāng)n≥15時(shí),Pn不能分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并集,再證P14滿足要求,從而求得n的最大值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】李明在10場(chǎng)籃球比賽中的投籃情況統(tǒng)計(jì)如下(假設(shè)各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立);

場(chǎng)次

投籃次數(shù)

命中次數(shù)

場(chǎng)次

投籃次數(shù)

命中次數(shù)

主場(chǎng)1

22

12

客場(chǎng)1

18

8

主場(chǎng)2

15

12

客場(chǎng)2

13

12

主場(chǎng)3

12

8

客場(chǎng)3

21

7

主場(chǎng)4

23

8

客場(chǎng)4

18

15

主場(chǎng)5

24

20

客場(chǎng)5

25

12


(1)從上述比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng),求李明在該場(chǎng)比賽中投籃命中率超過0.6的概率;
(2)從上述比賽中隨機(jī)選擇一個(gè)主場(chǎng)和一個(gè)客場(chǎng),求李明的投籃命中率一場(chǎng)超過0.6,一場(chǎng)不超過0.6的概率;
(3)記 是表中10個(gè)命中次數(shù)的平均數(shù),從上述比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng),記X為李明在這場(chǎng)比賽中的命中次數(shù),比較EX與 的大小(只需寫出結(jié)論).

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獎(jiǎng)級(jí)

摸出紅、藍(lán)球個(gè)數(shù)

獲獎(jiǎng)金額

一等獎(jiǎng)

3紅1藍(lán)

200元

二等獎(jiǎng)

3紅0藍(lán)

50元

三等獎(jiǎng)

2紅1藍(lán)

10元

其余情況無獎(jiǎng)且每次摸獎(jiǎng)最多只能獲得一個(gè)獎(jiǎng)級(jí).
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