Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=e 

|x|

x2+1

（x∈R）有下列命題：
①函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，
②在區(qū)間（0，+∞）上，函數(shù)y=f（x）是減函數(shù)，
③函數(shù)f（x）的最小值是e 

1

2

，
④在區(qū)間（-∞，-1）上，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，
其中真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：易知該函數(shù)是偶函數(shù)，所以只需先研究當(dāng)x∈[0，+∞）函數(shù)f（x）的性質(zhì)，然后根據(jù)單調(diào)性與奇偶性之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化即可，對于②③④，都涉及到了函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)進行計算和判斷即可．

解答： 解：由已知，函數(shù)f（x）=e 

|x|

x2+1

的定義域為R，又因為f（-x）=e

|-x|

(-x)2+1

=e 

|x|

x2+1

=f（x），所以函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，所以①正確；
當(dāng)x＞0時，f（x）=e

x

x2+1

，所以f′（x）=e

x

x2+1

(

x

x2+1

)′=e

x

x2+1

1-x2

(x2+1)2

，
令f′（x）＞0得0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，令f′（x）＜0得x＞1，所以f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，所以②不對；
因為f（x）是偶函數(shù)，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的最大值就是其在定義域上的最大值，由剛才計算可知f（x）_max=f(1)=e

1

2

，所以③不對；
由剛才的計算可知，f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)（偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反）可知，在區(qū)間（-∞，-1）上，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，所以④正確．
故答案為：①④

點評：對于奇函數(shù)或偶函數(shù)，可以先研究其關(guān)于原點對稱的一半?yún)^(qū)間上的性質(zhì)，再利用其“對稱性”將得到的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化，例如此題考查了偶函數(shù)的單調(diào)性、最值的性質(zhì)．