Question

在棱長為a的正方體ABCD-ABCD中，F(xiàn)是CC₁的中點(diǎn)，O為下底面的中心．
（1）求證：AC₁∥平面BDF；
（2）求證：A₁O⊥平面BDF．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接OF，要證AC₁∥平面BDF，只需證明AC₁平行平面BDF內(nèi)的直線OF即可；
（2）利用線面垂直的判定定理證明DB⊥平面A₁ACC₁ ，證得A₁O⊥DB．再用勾股定理證明A₁O⊥OF，這樣，A₁O就垂直于平面BDF內(nèi)的兩條相交直線，故A₁O⊥平面BDF．

解答： 證明：（1）由題意，O為AC中點(diǎn)，連接OF，則OF∥AC₁，
∵AC₁?面BDF，OF?面BDF，
∴AC₁∥平面BDF；
（2）∵DB⊥A₁A，DB⊥AC，A₁A∩AC=A，
∴DB⊥平面A₁ACC₁．
又A₁O?平面A₁ACC₁，∴A₁O⊥DB．
在矩形A₁ACC₁中，tan∠AA₁O=

2

2

，tan∠FOC=

2

2

，
∴∠AA₁O=∠FOC，
則∠A₁OA+∠GOC=90°．∴A₁O⊥OF．
∵OF∩DB=O，∴A₁O⊥平面BDF．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的判定，考查證明直線和平面垂直的方法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．