Question

某廠生產某種產品的年固定成本為250萬元，每生產x萬件，需另投入的成本為C（x）（單位：萬元），當年產量小于80萬件時，C（x）=

1

3

x²+10x；當年產量不小于80萬件時，C（x）=51x+

10000

x

-1450．假設每萬件該產品的售價為50萬元，且該廠當年生產的該產品能全部銷售完．
（1）寫出年利潤L（x）（萬元）關于年產量x（萬件）的函數關系式；
（2）年產量為多少萬件時，該廠在該產品的生產中所獲利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用,函數解析式的求解及常用方法

專題：應用題,函數的性質及應用

分析：（1）分兩種情況進行研究，當0＜x＜80時，投入成本為C(x)=

1

3

x2+10x（萬元），根據年利潤=銷售收入-成本，列出函數關系式，當x≥80時，投入成本為C(x)=51x+

10000

x

-1450，根據年利潤=銷售收入-成本，列出函數關系式，最后寫成分段函數的形式，從而得到答案；
（2）根據年利潤的解析式，分段研究函數的最值，當0＜x＜80時，利用二次函數求最值，當x≥80時，利用基本不等式求最值，最后比較兩個最值，即可得到答案．

解答： 解：（1）∵每件商品售價為0.05萬元，
∴x千件商品銷售額為0.05×1000x萬元，
①當0＜x＜80時，根據年利潤=銷售收入-成本，
∴L(x)=(0.05×1000x)-

1

3

x2-10x-250=-

1

3

x2+40x-250；
②當x≥80時，根據年利潤=銷售收入-成本，
∴L(x)=(0.05×1000x)-51x-

10000

x

+1450-250=1200-(x+

10000

x

)．
綜合①②可得，L(x)=

- 1 3 x2+40x-250(0＜x＜80) 1200-(x+ 10000 x )(x≥80).

．
（2）由（1）可知，L(x)=

- 1 3 x2+40x-250(0＜x＜80) 1200-(x+ 10000 x )(x≥80).

，
①當0＜x＜80時，L(x)=-

1

3

x2+40x-250=-

1

3

(x-60)2+950，
∴當x=60時，L（x）取得最大值L（60）=950萬元；
②當x≥80時，L(x)=1200-(x+

10000

x

)≤1200-2

x• 10000 x

=1200-200=1000，
當且僅當x=

10000

x

，即x=100時，L（x）取得最大值L（100）=1000萬元．
綜合①②，由于950＜1000，
∴當產量為10萬件時，該廠在這一商品中所獲利潤最大，最大利潤為1000萬元．

點評：本題主要考查函數模型的選擇與應用．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．本題建立的數學模型為分段函數，對于分段函數的問題，一般選用分類討論和數形結合的思想方法進行求解．屬于中檔題．