Question

已知數(shù)列為等差數(shù)列，其公差d不為0，和的等差中項(xiàng)為11，且，令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
（1）求及；
（2）是否存在正整數(shù)m，n（1<m<n），使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1），；（2）.

解析試題分析：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)以及裂項(xiàng)相消法求和等數(shù)學(xué)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力和計(jì)算能力.第一問，先利用等差中項(xiàng)的概念將和的等差中項(xiàng)為11，轉(zhuǎn)化為，與已知聯(lián)立，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式展開，解方程組得出基本量和，從而求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，將代入到中，利用裂項(xiàng)相消法求和；第二問，先假設(shè)存在m和n，利用已知看能不能求出m和n的值，利用第一問的結(jié)論，得出的值，由已知成等比數(shù)列，則，整理得到關(guān)于m，n的方程，通過解方程得出m和n的值.
試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d1/6/1gjta4.png" style="vertical-align:middle;" />為等差數(shù)列，公差為，則由題意得

整理得
所以     3分
由
所以     6分
（Ⅱ）假設(shè)存在
由（Ⅰ）知，，所以
若成等比，則有
   8分
，（1）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/95/b/slzfz1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，     10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d4/7/1w6y04.png" style="vertical-align:middle;" />，當(dāng)時(shí)，代入（1）式，得；
綜上，當(dāng)可以使成等比數(shù)列。     12分
考點(diǎn)：1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.等差中項(xiàng)；3.等比數(shù)列的定義；4.裂項(xiàng)相消法.