已知數(shù)列為等差數(shù)列,其公差d不為0,
和
的等差中項為11,且
,令
,數(shù)列
的前n項和為
.
(1)求及
;
(2)是否存在正整數(shù)m,n(1<m<n),使得成等比數(shù)列?若存在,求出所有的m,n的值;若不存在,請說明理由.
(1),
;(2)
.
解析試題分析:本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)以及裂項相消法求和等數(shù)學(xué)知識,考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力和計算能力.第一問,先利用等差中項的概念將和
的等差中項為11,轉(zhuǎn)化為
,與已知聯(lián)立,利用等差數(shù)列的通項公式展開,解方程組得出基本量
和
,從而求出等差數(shù)列的通項公式,將
代入到
中,利用裂項相消法求和;第二問,先假設(shè)存在m和n,利用已知看能不能求出m和n的值,利用第一問的結(jié)論
,得出
的值,由已知
成等比數(shù)列,則
,整理得到關(guān)于m,n的方程,通過解方程得出m和n的值.
試題解析:(Ⅰ)因為為等差數(shù)列,公差為
,則由題意得
整理得
所以 3分
由
所以 6分
(Ⅱ)假設(shè)存在
由(Ⅰ)知,,所以
若成等比,則有
8分
,(1)
因為,所以
, 10分
因為,當(dāng)
時,代入(1)式,得
;
綜上,當(dāng)可以使
成等比數(shù)列。 12分
考點:1.等差數(shù)列的通項公式;2.等差中項;3.等比數(shù)列的定義;4.裂項相消法.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知首項為的等比數(shù)列
不是遞減數(shù)列,其前n項和為
,且
成等差數(shù)列。
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè),求數(shù)列
的最大項的值與最小項的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
從數(shù)列中抽出一些項,依原來的順序組成的新數(shù)列叫數(shù)列
的一個子列.
(1)寫出數(shù)列的一個是等比數(shù)列的子列;
(2)若是無窮等比數(shù)列,首項
,公比
且
,則數(shù)列
是否存在一個子列
為無窮等差數(shù)列?若存在,寫出該子列的通項公式;若不存在,證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)等差數(shù)列的公差為
,且
.若設(shè)
是從
開始的前
項數(shù)列的和,即
,
,如此下去,其中數(shù)列
是從第
開始到第
)項為止的數(shù)列的和,即
.
(1)若數(shù)列,試找出一組滿足條件的
,使得:
;
(2)試證明對于數(shù)列,一定可通過適當(dāng)?shù)膭澐�,使所得的�?shù)列
中的各數(shù)都為平方數(shù);
(3)若等差數(shù)列中
.試探索該數(shù)列中是否存在無窮整數(shù)數(shù)列
,使得
為等比數(shù)列,如存在,就求出數(shù)列
;如不存在,則說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為Sn,已知
,且
對一切
都成立.
(1)若λ=1,求數(shù)列的通項公式;
(2)求λ的值,使數(shù)列是等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知等差數(shù)列{}的前n項和為Sn,公差d≠0,且S3=9,a1,a3,a7成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{}的通項公式;
(2)設(shè)=
,求數(shù)列{
}的前n項和
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列{an}的首項為a1=1,其前n項和為Sn,且對任意正整數(shù)n有n,an,Sn成等差數(shù)列.
(1)求證:數(shù)列{Sn+n+2}成等比數(shù)列.
(2)求數(shù)列{an}的通項公式.
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