已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a，b＞0)的一條漸近線方程是y=
1
2
x，它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=4
5
x的準(zhǔn)線上，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）是雙曲線C右支上相異兩點(diǎn)，且滿足x1+x2=6，D為線段AB的中點(diǎn)，直線AB的斜率為k．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）用k表示點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（Ⅲ）若k＞0，AB的中垂線交x軸于點(diǎn)M，直線AB交x軸于點(diǎn)N，求△DMN的面積的取值范圍．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件推導(dǎo)出
b
a
=
1
2
，
a2+b2
=
5
，由此能求出雙曲線C的方程．
（Ⅱ）法一：設(shè)直線AB的方程為y=kx+d，k≠±
1
2
，k≠0，代入方程
x2
4
-y2=1(x≥2)，得（4k2-1）x2+8kdx+4（d2+1）=0，用根的判別式和韋達(dá)定理求出D(3，
3
4k
)，由此能求出k的取值范圍．
法二：利用點(diǎn)差法求出D(3，
3
4k
)，由此能求出k的取值范圍．
（Ⅲ）方程y=kx+
3(1-4k2)
4k
中，令y=0，得xN=3-
3
4k2
，由已知條件求出M(
15
4
，0)，由此能求出△DMN的面積的取值范圍．
解答： 解：（Ⅰ）∵雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a，b＞0)的一條漸近線方程是y=
1
2
x，
它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=4
5
x的準(zhǔn)線上，
∴
b
a
=
1
2
，
a2+b2
=
5
，
解得a=2，b=1，
∴雙曲線C的方程為
x2
4
-y2=1．…（3分）
（Ⅱ）解法一：設(shè)直線AB的方程為y=kx+d，k≠±
1
2
，k≠0，
代入方程
x2
4
-y2=1(x≥2)，
得（4k2-1）x2+8kdx+4（d2+1）=0，
當(dāng)△＞0時(shí)記兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，
則x1+x2=
8kd
1-4k2
=6，x1x2=
4(d2+1)
4k2-1
＞0，
∴d=
3(1-4k2)
4k
，
∴AB的方程為y=kx+
3(1-4k2)
4k
，
把x=3代入得yD=
3
4k
，∴D(3，
3
4k
)，…（6分）
下求k的取值范圍：法一：由△＞0，得d2+1-4k2＞0，
即
9(1-4k2)2
16k2
+1-4k2＞0，
而1-4k2＜0，所以
9(1-4k2)
16k2
+1＜0，化簡(jiǎn)得|k|＞
3
5
10
；…（7分）
法二：在
x2
4
-y2=1中令x=3，得y2=
5
4
，∴|yD|＜
5
2
，
即|
3
4k
|＜
5
2
，所以|k|＞
3
5
10
，
再結(jié)合|k|＞
1
2
，得|k|＞
3
5
10
．…（7分）
（Ⅱ）解法二：
x
2
1
=4
y
2
1
+4， 
x
2
2
=4
y
2
2
+4，
兩式相減得6（x1-x2）=8yD•（y1-y2），
∵k=
y1-y2
x1-x2
，∴yD=
3
4k
，∴D(3，
3
4k
)，…（6分）
下求k的取值范圍：法一：由△＞0，得d2+1-4k2＞0，
即
9(1-4k2)2
16k2
+1-4k2＞0，
而1-4k2＜0，所以
9(1-4k2)
16k2
+1＜0，化簡(jiǎn)得|k|＞
3
5
10
；…（7分）
法二：在
x2
4
-y2=1中令x=3，得y2=
5
4
，∴|yD|＜
5
2
，
即|
3
4k
|＜
5
2
，所以|k|＞
3
5
10
，
再結(jié)合|k|＞
1
2
，得|k|＞
3
5
10
．…（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知方程y=kx+
3(1-4k2)
4k
中，
令y=0，得xN=3-
3
4k2
，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），由kMD=-
1
k
，得m=
15
4
，
∴M(
15
4
，0)，∴|MN|=|xM-xN|=
3
4
(1+
1
k2
)，
∴S△DMN=
1
2
•
3
4
(1+
1
k2
)•
3
4k
=
9
32
(1+
1
k2
)
1
k
，…（9分）
∵k＞0，∴k＞
3
5
10
，
∴0＜
1
k
＜
2
5
3
，∴S△DMN∈(0，
29
5
48
)．…（11分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線方程的求法，考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查三角形面積的取值范圍的求法，解題時(shí)要熟練掌握?qǐng)A錐曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=-x2+2x，x∈[-1，3]，則任取一點(diǎn)x0∈[-1，3]，使得f（x0）≥0的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，長(zhǎng)方形的面積為2，將100顆豆子隨機(jī)地撒在長(zhǎng)方形內(nèi)，其中恰好有60顆豆子落在陰影部分內(nèi)，則用隨機(jī)摸擬的方法可以估計(jì)圖中陰影部分的面積為（　�。�
A、
2
3
B、
4
5
C、
6
5
D、
4
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，一游泳者自游泳池邊AB上的D點(diǎn)，沿DC方向游了10米，∠CDB=60°，然后任意選擇一個(gè)方向并沿此方向繼續(xù)游，則他再游不超過(guò)10米就能夠回到游泳池AB邊的概率是（　　）
A、
1
6
B、
1
4
C、
1
3
D、
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

從1，2，3，…n中這n個(gè)數(shù)中取m（m，n∈N*，3≤m≤n）個(gè)數(shù)組成遞增等差數(shù)列，所有可能的遞增等差數(shù)列的個(gè)數(shù)記為f（n，m）．
（Ⅰ）當(dāng)n=5，m=3時(shí)，寫出所有可能的遞增等差數(shù)列及f（5，3）的值；
（Ⅱ）求f（100，10）；
（Ⅲ）求證：f（n，m）＞
(n-m)(n+1)
2(m-1)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

一個(gè)袋子中裝有7個(gè)小球，其中紅球4個(gè)，編號(hào)分別為1，2，3，4，黃球3個(gè)，編號(hào)分別為2，4，6，從袋子中任取4個(gè)小球（假設(shè)取到任一小球的可能性相等）．
（Ⅰ）求取出的小球中有相同編號(hào)的概率；
（Ⅱ）記取出的小球的最大編號(hào)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

隨機(jī)抽取某中學(xué)高一級(jí)學(xué)生的一次數(shù)學(xué)統(tǒng)測(cè)成績(jī)得到一樣本，其分組區(qū)間和頻數(shù)是：[50，60），2；[60，70），7；[70，80），10；[80，90），x；[90，100]，2．其頻率分布直方圖受到破壞，可見(jiàn)部分如圖所示，據(jù)此解答如下問(wèn)題．
（1）求樣本的人數(shù)及x的值；
（2）估計(jì)樣本的眾數(shù)，并計(jì)算頻率分布直方圖中[80，90）的矩形的高；
（3）從成績(jī)不低于80分的樣本中隨機(jī)選取2人，該2人中成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的人數(shù)記為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知復(fù)數(shù)3m+5+（1-m）i（i是虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在二、四象限的角平分線上，則實(shí)數(shù)m=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，圓O與直線x+
3
y+2=0相切于點(diǎn)P，與x正半軸交于點(diǎn)A，與直線y=
3
x在第一象限的交點(diǎn)為B．點(diǎn)C為圓O上任一點(diǎn)，且滿足
OC
=x
OA
+y
OB
，動(dòng)點(diǎn)D（x，y）的軌跡記為曲線Γ．
（1）求圓O的方程及曲線Γ的軌跡方程；
（2）若直線y=x和y=-x分別交曲線Γ于點(diǎn)A、C和B、D，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)；
（3）已知曲線Γ為橢圓，寫出橢圓Γ的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、范圍和焦點(diǎn)坐標(biāo)．

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