【題目】已知點(diǎn)，在圓：上任取一點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn).（如圖）.

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）若過點(diǎn)的動(dòng)直線與（1）中的軌跡相交于、兩點(diǎn).問：平面內(nèi)是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得恒成立？試證明你的結(jié)論.

【答案】（1）

（2）存在，證明見解析

【解析】

（1）利用垂直平分線的性質(zhì)可得，從而得到點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓；

（2）先考慮當(dāng)直線軸和直線軸的情況得到定點(diǎn)；再考慮對(duì)直線的一般情況都有點(diǎn)滿足題意.

（1）依題意得，，

故點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，

，，，

因此，所求的軌跡是橢圓：.

（2）當(dāng)直線軸時(shí)，由得知點(diǎn)在軸上，可設(shè).

當(dāng)直線軸時(shí)，，，由得

，或.

因此，若存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)滿足題意，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.

下面我們來證明：對(duì)任意直線均有.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線：，，.

把代入得，

由于點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，故判別式.所以

，，，

易知點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，

而，

又，

所以，

即、、三點(diǎn)共線，

，

綜上知，存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)滿足題意.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】三位同學(xué)畢業(yè)后，發(fā)現(xiàn)市內(nèi)一些小家電配件的批發(fā)商每天的批發(fā)零售的生意很火爆，于是他們?nèi)藳Q定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)，專門生產(chǎn)這類小家電配件，并與經(jīng)銷商簽訂了經(jīng)銷合同，他們生產(chǎn)出的小家電配件，以每件元的價(jià)格全部由經(jīng)銷商包銷.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，生產(chǎn)這類配件，每月需要投入固定成本為萬元，每生產(chǎn)萬件配件，還需再投入資金萬元.在月產(chǎn)量不足萬件時(shí)，（萬元）；在月產(chǎn)量不小于萬件時(shí)，（萬元）.已知月產(chǎn)量是萬件時(shí)，需要再投入的資金是萬元.

（1）試將生產(chǎn)這些小家電的月利潤(rùn)（萬元）表示成月產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)；（注：月利潤(rùn)月銷售收入固定成本再投入成本）

（2）月產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，這三位同學(xué)生產(chǎn)這些配件獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖①，在平行四邊形中，，，，于點(diǎn)，將沿折起，使，連接、，得到如圖②所示的幾何體．

（1）求證：平面平面；

（2）若點(diǎn)在線段上，直線與平面所成角的正切值為，求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】據(jù)《人民網(wǎng)》報(bào)道，“美國國家航空航天局（NASA）發(fā)文稱，相比20年前世界變得更綠色了，衛(wèi)星資料顯示中國和印度的行動(dòng)主導(dǎo)了地球變綠．”據(jù)統(tǒng)計(jì)，中國新增綠化面積的420/0來自于植樹造林，下表是中國十個(gè)地區(qū)在2017年植樹造林的相關(guān)數(shù)據(jù)．（造林總面積為人工造林、飛播造林、新封山育林、退化林修復(fù)、人工更新的面積之和）單位：公頃

按造林方式分

地區(qū)

造林總面積

人工造林

飛播造林

新封山育林

退化林修復(fù)

人工更新

內(nèi)蒙

618484

311052

74094

136006

90382

6950

河北

583361

345625

33333

135107

65653

3643

河南

149002

97647

13429

22417

15376

133

重慶

226333

100600

62400

63333

陜西

297642

184108

33602

63865

16067

甘肅

325580

260144

57438

7998

新疆

263903

118105

6264

126647

10796

2091

青海

178414

16051

159734

2629

寧夏

91531

58960

22938

8298

1335

北京

19064

10012

4000

3999

1053

（Ⅰ）請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，分別寫出在這十個(gè)地區(qū)中人工造林面積與造林總面積的比值最大和最小的地區(qū)；

（Ⅱ）在這十個(gè)地區(qū)中，任選一個(gè)地區(qū)，求該地區(qū)人工造林面積與造林總面積的比值不足50%的概率是多少？

（Ⅲ）從上表新封山育林面積超過十萬公頃的地區(qū)中，任選兩個(gè)地區(qū)，求至少有一個(gè)地區(qū)退化林修復(fù)面積超過五萬公頃的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作垂直于軸的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且以線段為直徑的圓過點(diǎn).

(1)求拋物線的方程；

(2)若直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為曲線:上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】把一個(gè)均勻的正方體骰子拋擲兩次，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為，設(shè)直線：，直線：.

（1）求直線和直線沒有交點(diǎn)的概率；

（2）求直線和直線的交點(diǎn)在第一象限的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的焦距為，點(diǎn)在橢圓上，且的最小值是（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）已知?jiǎng)又本�與圓：相切，且與橢圓交于，兩點(diǎn).是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓過點(diǎn)、.

（1）求橢圓的方程；

（2）、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線過與橢圓交于、兩點(diǎn)，求△面積的最大值；

（3）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，使得過點(diǎn)存在兩條互相垂直的直線、，且都與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示的多面體中，是菱形， 是矩形，平面，，，.

（1）求證：平面平面 ；

（2）在線段上取一點(diǎn)，當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求.

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