【題目】已知四棱柱的底面是邊長為的菱形，且，平面，，于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求平面和平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）取中點(diǎn)為，求證四邊形為平行四邊形，即可由線線平行推證線面平行；

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，通過求解兩平面法向量之間夾角的余弦值，從而求得二面角夾角的余弦值.

（1）證明：∵，，∴是中點(diǎn)，

取中點(diǎn)，連，，如下圖所示：

則在菱形中，，//

∵，//，∴，//，

∴四邊形為平行四邊形，∴//，

又，//，∴四邊形為平行四邊形，

∴//，∴//，

又平面，平面，

∴//平面.即證.

（2）以為原點(diǎn)，以分別為建立如圖所示的空間的直角坐標(biāo)系.

因?yàn)橐阎撍睦庵鶠橹彼睦庵?/span>，，

所以為等邊三角形.

因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)是的中點(diǎn).

故點(diǎn)，，，，

，，.

設(shè)平面的法向量為，，.

由得

取，得，，

故.

∵，，，

∴，∴是平面的法向量，

設(shè)平面和平面所成銳角為，

則.

即平面和平面所成銳角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某校有，，，四件作品參加航模類作品比賽.已知這四件作品中恰有兩件獲獎.在結(jié)果揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對這四件參賽作品的獲獎情況預(yù)測如下：

甲說：“、同時獲獎”；

乙說：“、不可能同時獲獎”；

丙說：“獲獎”；

丁說：“、至少一件獲獎”.

如果以上四位同學(xué)中有且只有二位同學(xué)的預(yù)測是正確的，則獲獎的作品是（ ）

A. 作品與作品 B. 作品與作品 C. 作品與作品 D. 作品與作品

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【題目】為了適應(yīng)高考改革，某中學(xué)推行“創(chuàng)新課堂”教學(xué).高一平行甲班采用“傳統(tǒng)教學(xué)”的教學(xué)方式授課，高一平行乙班采用“創(chuàng)新課堂”的教學(xué)方式授課，為了比較教學(xué)效果，期中考試后，分別從兩個班中各隨機(jī)抽取名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果如下表：（記成績不低于分者為“成績優(yōu)秀”）

分?jǐn)?shù)

甲班頻數(shù)

乙班頻數(shù)

（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表，并判斷是否有以上的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”？

甲班

乙班

總計(jì)

成績優(yōu)秀

成績不優(yōu)秀

總計(jì)

（2）在上述樣本中，學(xué)校從成績?yōu)?/span>的學(xué)生中隨機(jī)抽取人進(jìn)行學(xué)習(xí)交流，求這人來自同一個班級的概率.

參考公式：，其中.

臨界值表

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