Question

【題目】若函數(shù)f（x）=x3﹣ x2+bx+c在x=1時(shí)取得極值，且當(dāng)x∈[﹣1，2]時(shí)，f（x）＜c2恒成立．
（1）求實(shí)數(shù)b的值；
（2）求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x3﹣ x2+bx+c，

∴f′（x）=3x2﹣x+b，

∵x=1是方程3x2﹣x+b=0的一個(gè)根，

設(shè)另一個(gè)根是x0，則 ，

∴x0=﹣ ，b=﹣2

（2）解：由（1）知，f（x）=x3﹣ x2﹣2x+c，

∴f′（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），

令f′（x）=0，解得x1=﹣ ，x2=1；

列表如下：

x	[﹣1，﹣ ）	﹣	（﹣ ，1）	1	（1，2]
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值 +c	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格知，f（x）取得極大值f（﹣ ）= +c，

又f（2）=2+c，

∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得最大值f（x）max=2+c；

∴2+c＜c2，

解得c＜﹣1或c＞2，

∴c的取值范圍是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）

【解析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），由函數(shù)的零點(diǎn)以及根與系數(shù)的關(guān)系求出b的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）在閉區(qū)間[﹣1，2]上的最大值f（x）max ， 令其小于c2 ， 求出c的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．