【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(0)=2和f(x+1)﹣f(x)=2x﹣1對任意實(shí)數(shù)x都成立.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)當(dāng)t∈[﹣1,3]時(shí),求y=f(2t)的值域.
【答案】
(1)解:由題意可設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則
由f(0)=2得c=2,
由f(x+1)﹣f(x)=2x﹣1得,a(x+1)2+b(x+1)+2﹣ax2﹣bx﹣2=2x﹣1對任意x恒成立,
即2ax+a+b=2x﹣1,
∴ ,
∴f(x)=x2﹣2x+2
(2)解:∵y=f(2t)=(2t)2﹣22t+2=(2t﹣1)2+1,
又∵當(dāng)t∈[﹣1,3]時(shí), ,
∴ ,(2t﹣1)2∈[0,49],
∴y∈[1,50],
即當(dāng)t∈[﹣1,3]時(shí),求y=f(2t)的值域?yàn)閇1,50]
【解析】(1)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=2可求得c,由f(x+1)﹣f(x)=2x﹣1,得2ax+a+b=2x﹣1,所以 ,可求a,b,從而可得f(x);(2)y=f(2t)=(2t)2﹣22t+2=(2t﹣1)2+1,由t∈[﹣1,3],可得2t的范圍,進(jìn)而可求得y=f(2t)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線相切.、是橢圓的左、右頂點(diǎn),直線過點(diǎn)且與軸垂直.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)是橢圓上異于、的任意一點(diǎn),作軸于點(diǎn),延長到點(diǎn)使得,連接并延長交直線于點(diǎn),為線段的中點(diǎn),判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng), 取一切非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí),若,求的范圍;
(2)若函數(shù)存在極大值,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l與圓C:x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A,B兩點(diǎn),弦AB的中點(diǎn)為M(0,1).
(1)若圓C的半徑為,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若弦AB的長為6,求實(shí)數(shù)a的值;
(3)當(dāng)a=1時(shí),圓O:x2+y2=2與圓C交于M,N兩點(diǎn),求弦MN的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,曲線(為參數(shù),),其中,在以為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線,曲線.
(Ⅰ)求與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)系;
(Ⅱ)若與相交于點(diǎn),與相交于點(diǎn),求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),斜率為2的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)兩點(diǎn),且|AB|=9.
(1)求該拋物線的方程.
(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為拋物線上一點(diǎn),若,求λ的值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C的圓心在直線l:y=2x上,且經(jīng)過點(diǎn)A(﹣3,﹣1),B(4,6).
(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)點(diǎn)P是直線l上橫坐標(biāo)為﹣4的點(diǎn),過點(diǎn)P作圓C的切線,求切線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為,點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn), 的周長為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn) (-4,0)任作一動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn),記,若在線段上取一點(diǎn),使得,則當(dāng)直線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)在某一定直線上運(yùn)動(dòng),求該定直線的方程.
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