Question

如圖，在Rt△AOB中，∠OAB=

π

6

，斜邊AB=4．Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B-AO-C是直二面角．動點(diǎn)D的斜邊AB上．
（Ⅰ）求證：平面COD⊥平面AOB；
（Ⅱ）當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時，求異面直線AO與CD所成角的大��；
（Ⅲ）求CD與平面AOB所成角的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）欲證平面COD⊥平面AOB，先證直線與平面垂直，由題意可得：CO⊥AO，BO⊥AO，CO⊥BO，所以CO⊥平面AOB．
（Ⅱ）求異面直線所成的角，需要將兩條異面直線平移交于一點(diǎn)，由D為AB的中點(diǎn)，故平移時很容易應(yīng)聯(lián)想到中位線，作DE⊥OB，垂足為E，連接CE，則DE∥AO，所以∠CDE是異面直線AO與CD所成的角，利用解三角形的有關(guān)知識夾角問題即可．
（Ⅲ）本題的設(shè)問是遞進(jìn)式的，第（Ⅰ）問是為第（Ⅲ）問作鋪墊的．求直線與平面所成的角，首先要作出這個平面的垂線，由第（1）問可知：CO⊥平面AOB，所以∠CDO是CD與平面AOB所成的角，tan∠CDO=

OC

OD

=

2

OD

，當(dāng)OD最小時，∠CDO最大．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角，
又∵二面角B-AO-C是直二面角，
∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO=O，
∴CO⊥平面AOB，
∵CO?平面COD，∴平面COD⊥平面AOB
（Ⅱ）作DE⊥OB，垂足為E，連接CE，所以DE∥AO，
∴∠CDE是異面直線AO與CD所成的角．
在 Rt△COE中，CO=BO=2，OE=

1

2

BO=1，
∴CE=

CO2+OE2

=

5

．
又 DE=

1

2

AO=

3

．
∴CD=

CE2+DE2

=2

2

，
∴在Rt△CDE中，cos∠CDE=

DE

CD

=

3

2 2

=

6

4

．
∴異面直線AO與CD所成角的大小為arccos

6

4

．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，CO⊥平面AOB，
∴∠CDO是CD與平面AOB所成的角，并且tan∠CDO=

OC

OD

=

2

OD

，
當(dāng)OD最小時，∠CDO最大，這時，OD⊥AB，垂足為D，
∴OD=

OA•OB

AB

=

3

，
∴tan∠CDO=

2

3

=

2 3

3

，
∴CD與平面AOB所成角的最大值為arctan

2 3

3

．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查異面直線所成的角的大小的求法，考查直線與平面所成角折大小的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．