已知動點P與雙曲線.的兩焦點F1,F(xiàn)2的距離之和為大于4的定值,且||•||的最大值為9.
(1)求動點P的軌跡E的方程;
(2)若A,B是曲線E上相異兩點,點M(0,2)滿足,求實數(shù)λ的取值范圍.
【答案】分析:(1)先由雙曲線的方程得到兩焦點,設(shè)已知定值為2a,則,因此,動點P的軌跡E是以F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0)為焦點,長軸長為2a的橢圓.利用待定系數(shù)法結(jié)合基本不等式即可求得橢圓的方程;
(2)設(shè)所求直線l的方程:y=kx-2,將直線的方程代入橢圓的方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量關(guān)系式即可求得實數(shù)λ的取值范圍
,從而解決問題.
解答:解:(1)雙曲線的焦點F1(-2,0).
設(shè)已知定值為2a,則,因此,動點P的軌跡E是以F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0)為焦點,長軸長為2a的橢圓.
設(shè)橢圓方程為.(2分)
=a2,
∴a2=9,b2=a2-c2=5,
∴動點P的軌跡E的方程;
(II)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則由點M(0,2)滿足,得:
  且M,A,B三點共線,設(shè)直線為l,
當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)l:y=kx-2,則將直線的方程代入橢圓的方程,化簡得:
(5+9k2)x2-36kx-9=0,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得:
  x1+x2=,x1x2=
將x1=-λx2,代入,消去x2,得:
化得:
,
解之得:實數(shù)λ的取值范圍為[9-4,9+4].
點評:本小題主要考查圓錐曲線的軌跡問題、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知動點P與雙曲線
x2
2
-
y2
3
=1
的兩個焦點F1、F2的距離之和為6.
(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)
PF1
PF2
=3
,求△PF1F2的面積;
(3)若已知D(0,3),M、N在曲線C上,且
DM
DN
,求實數(shù)λ的取值范圍.

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(2012•湖北模擬)已知動點P與雙曲線2x2-2y2=1的兩個焦點F1,F(xiàn)2的距離之和為4.
(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)若M為曲線C上的動點,以M為圓心,MF2為半徑做圓M.若圓M與y軸有兩個交點,求點M橫坐標(biāo)的取值范圍.

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已知動點P與雙曲線x2-y2=1的兩個焦點F1,F(xiàn)2的距離之和為定值,且cos∠F1PF2的最小值為-
13

(1)求動點P的軌跡方程;
(2)設(shè)M(0,-1),若斜率為k(k≠0)的直線l與P點的軌跡交于不同的兩點A、B,若要使|MA|=|MB|,試求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知動點P與雙曲線x2-
y2
3
=1
.的兩焦點F1,F(xiàn)2的距離之和為大于4的定值,且|
PF1
|•|
PF2
|的最大值為9.
(1)求動點P的軌跡E的方程;
(2)若A,B是曲線E上相異兩點,點M(0,2)滿足
AM
MB
,求實數(shù)λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知動點P與雙曲線
x2
2
-
y2
3
=1
的兩個焦點F1、F2的距離之和為6.
(1)求動點P的軌跡方程;
(2)若已知D(0,3),點M、N在動點P的軌跡上,且
DM
DN
,求實數(shù)λ的取值范圍.

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