Question

已知動點P與雙曲線x2-

y2

3

=1．的兩焦點F₁，F(xiàn)₂的距離之和為大于4的定值，且|

PF1

|•|

PF2

|的最大值為9．
（1）求動點P的軌跡E的方程；
（2）若A，B是曲線E上相異兩點，點M（0，2）滿足

AM

=λ

MB

，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先由雙曲線的方程得到兩焦點，設(shè)已知定值為2a，則|

PF

1|+|

PF2

|=2a，因此，動點P的軌跡E是以F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）為焦點，長軸長為2a的橢圓．利用待定系數(shù)法結(jié)合基本不等式即可求得橢圓的方程；
（2）設(shè)所求直線l的方程：y=kx-2，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量關(guān)系式即可求得實數(shù)λ的取值范圍
，從而解決問題．

解答：解：（1）雙曲線x2-

y2

3

=1的焦點F₁（-2，0）．
設(shè)已知定值為2a，則|

PF

1|+|

PF2

|=2a，因此，動點P的軌跡E是以F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）為焦點，長軸長為2a的橢圓．
設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．（2分）
∵|

PF 1

|•|

PF 2

|≤(

| PF 1 |+ PF 2

2

) 2=a2，
∴a²=9，b²=a²-c²=5，
∴動點P的軌跡E的方程

x2

9

+

y2

5

=1；
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由點M（0，2）滿足

AM

=λ

MB

，得：

-x 1=λx   2  -2-y 1=λ(y 2+2)

  且M，A，B三點共線，設(shè)直線為l，
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l：y=kx-2，則將直線的方程代入橢圓的方程，化簡得：
（5+9k²）x²-36kx-9=0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：
  x₁+x₂=

36k

5+9k  2

，x₁x₂=

-9

5+9k 2

，
將x₁=-λx₂，代入，消去x₂，得：

(1-λ) 2

λ

=

144k 2

5+9k 2

，
化得：

(1-λ) 2

λ

=

144k 2

5+9k 2

=

144

5 k 2 +9

∴0＜

(1-λ) 2

λ

＜ 16，
解之得：實數(shù)λ的取值范圍為[9-4

5

，9+4

5

]．

點評：本小題主要考查圓錐曲線的軌跡問題、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．