Question

已知函數(shù)f(x)=ax2-2x，x∈R（其中a＞0且a≠1）；
（1）若a＞1，請寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（不需要證明）；
（2）若a=

1

2

，求函數(shù)f（x）在x∈[0，3]上的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a＞1，可以得到復(fù)合函數(shù)f(x)=ax2-2x的外函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，將求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間轉(zhuǎn)化為求u=x²-2x的單調(diào)區(qū)間，利用二次函數(shù)的單調(diào)性與開口方向和對稱軸有關(guān)，即可得到y(tǒng)=x²-2x的單調(diào)區(qū)間，從而確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）將a=

1

2

代入函數(shù)f（x）中，得到f（x）的表達式，再求出u=x²-2x的取值范圍，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得函數(shù)的值域．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=ax2-2x，x∈R是由y=a^u和u=x²-2x兩個函數(shù)復(fù)合而成，
∵內(nèi)函數(shù)u=x²-2x的對稱軸為x=1，
∴u=x²-2x的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），
∵a＞1，
∴外函數(shù)y=a^u是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的“同增異減”規(guī)則，
∴函數(shù)f(x)=ax2-2x的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）；
（2）當a=

1

2

，則f（x）=(

1

2

)x2-2x，
∵u=x²-2x=（x-1）²-1，
∴對稱軸為x=1∈[0，3]，
∴當x=1時，u取最小值-1，當x=3時，u取最大值3，
∴-1≤u≤3，
∵y=（

1

2

）^u是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，
∴當u=3時，y=（

1

2

）^u取最小值

1

8

，當u=-1時，y=（

1

2

）^u取最大值2，
∴

1

8

≤y≤2，
∴f（x）在x∈[0，3]上的值域為[

1

8

，2]．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與特殊點，考查了函數(shù)的值域．對于函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，注意一般單調(diào)性的證明選用定義法證明，證明的步驟是：設(shè)值，作差，化簡，定號，下結(jié)論．本題運用了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是應(yīng)用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷的規(guī)則“同增異減”．常見的求值域的方法有：直接法，單調(diào)性法，換元法，分離常數(shù)法，性質(zhì)法，不等式法，幾何意義法等等．根據(jù)具體的題目的條件，判斷出該題該使用何種方法進行求解．屬于中檔題．