Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，其左右焦點為F₁（-1，0）及F₂（1，0），過點F₁的直線交橢圓C于A，B兩點，線段AB的中點為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D，E兩點，且|AF₁|、|F₁F₂|、|AF₂|構(gòu)成等差數(shù)列．
（1）求橢圓C的方程；
（2）試問：是否存在直線AB，使得△GF₁D與△OED（O為原點）全等？說明理由．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合橢圓的定義，可得a=2，再由a，b，c的關(guān)系，即可得到橢圓方程；
（2）假設存在直線AB，顯然直線AB不能與x，y軸垂直．設AB方程為y=k（x+1），聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到x的方程，運用韋達定理和中點坐標公式，結(jié)合條件，得到k的方程，解出即可判斷．

解答： 解：（1）因為|AF₁|、|F₁F₂|、|AF₂|構(gòu)成等差數(shù)列，
所以2a=|AF₁|+|AF₂|=2|F₁F₂|=4，所以a=2．
又因為c=1，所以b²=3，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）假設存在直線AB，顯然直線AB不能與x，y軸垂直．
設AB方程為y=k（x+1），
將其代入為

x2

4

+

y2

3

=1．整理得（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以 x1+x2=

-8k2

4k2+3

．
故點G的橫坐標為

x1+x2

2

=

-4k2

4k2+3

．所以 G(

-4k2

4k2+3

，

3k

4k2+3

)．
因為 DG⊥AB，所以 

3k 4k2+3

-4k2 4k2+3 -xD

×k=-1，解得 xD=

-k2

4k2+3

，即 D(

-k2

4k2+3

，0)，
由于直角△GDF₁和直角△ODE全等，則GD=OD，
所以 

( -k2 4k2+3 - -4k2 4k2+3 )2+( 3k 4k2+3 )2

=|

-k2

4k2+3

|，
整理得 8k²+9=0．                                    
因為此方程無解，所以不存在直線AB，使得 S₁=S₂．

點評：本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運用韋達定理，中點坐標公式和兩點距離公式，考查運算能力，屬于中檔題．