Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若對于一切n∈N⁺，

Sn

S2n

=t（t為非零常數(shù)），則稱數(shù)列{a_n}為“和諧數(shù)列”，t為“和諧比”．
（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，證明：數(shù)列{b_n}為“和諧數(shù)列”，并求出“和諧比”；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)c_n=b_n2bn，n∈N₊，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： （1）證明：設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為B_n，
∵數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴B_n=n×1+

n(n-1)

2

×2=n²，B2n=4n2．
∴t=

Bn

B2n

=

n2

4n2

=

1

4

．
（2）解：由已知條件易求b_n=2n-1，
∴cn=bn.2bn=(2n-1)•22n-1
∴T_n=1×2¹+3×2³+…+（2n-1）•2^2n-1，
∴4T_n=2³+3×2⁵+…+（2n-3）•2^2n-1+（2n-1）•2²ⁿ⁺¹，
兩式相減可得：-3T_n=2+2×2³+2×2⁵+…+2×2^2n-1-（2n-1）•2²ⁿ⁺¹
=

4(4n-1)

4-1

-2-（2n-1）•2²ⁿ⁺¹
=

2

3

•22n+1-

10

3

-(2n-1)•22n+1
=(

5

3

-2n)•22n+1-

10

3

．
∴T_n=

6n-5

9

•22n+1+

10

9

．

點(diǎn)評：本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．