Question

7．函數(shù)y=ln（$\frac{2}{1+x}$-1）+1，x∈（-1，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{2}$，1）的最大值和最小值的和為2．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)函數(shù)y=ln（$\frac{2}{1+x}$-1）+1=ln$\frac{1-x}{1+x}$+1，設(shè)f（x）=ln$\frac{1-x}{1+x}$，x∈（-1，1），則f（x）是定義域上的奇函數(shù)；用f（x）在x∈（-1，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{2}$，1）上的最大、最小值表示函數(shù)y的最大、最小值，求出它們的和．

解答 解：∵函數(shù)y=ln（$\frac{2}{1+x}$-1）+1=ln$\frac{1-x}{1+x}$+1，
∴設(shè)f（x）=ln$\frac{1-x}{1+x}$，x∈（-1，1），
則f（-x）=-f（x），
∴f（x）是定義域（-1，1）上的奇函數(shù)；
不妨設(shè)f（x）在x∈（-1，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{2}$，1）上的最大值為M，則最小值為-M，
∴函數(shù)y=ln（$\frac{2}{1+x}$-1）+1，x∈（-1，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{2}$，1）的最大值為M+1，最小值為-M+1；
∴（M+1）+（-M+1）=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性以及最大最小值的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．