Question

15．求下列函數(shù)的最大值、最小值，并且求使函數(shù)取得最大、最小值的x的集合：在什么區(qū)間上是增函數(shù)？在什么區(qū)間上是減函數(shù)？
（1）y=$\sqrt{2}$+$\frac{sinx}{π}$，x∈R   （2）y=3-2cosx，x∈R （3）函數(shù)y=sin（-3x+$\frac{π}{4}$）  （4）函數(shù)y=3cos（2x-$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）y=$\sqrt{2}$+$\frac{sinx}{π}$，x∈R  
當(dāng)sinx=1，即x=2kπ+$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)取得最大值，為y=$\sqrt{2}$+$\frac{1}{π}$，此時(shí)x的集合為{x|x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}
當(dāng)sinx=-1，即x=2kπ-$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)取得最小值，為y=$\sqrt{2}$-$\frac{1}{π}$，此時(shí)x的集合為{x|x=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z}
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z，單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]，k∈Z，
（2）y=3-2cosx，x∈R
當(dāng)cosx=-1，即x=2kπ+π時(shí)，函數(shù)取得最大值，為y=3+2=5，此時(shí)x的集合為{x|x=2kπ+π，k∈Z}
當(dāng)cosx=1，即x=2kπ時(shí)，函數(shù)取得最小值，為y=3-2=1，此時(shí)x的集合為{x|x=2kπ，k∈Z}
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z，單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]，k∈Z，
（3）函數(shù)y=sin（-3x+$\frac{π}{4}$）=-sin（3x-$\frac{π}{4}$） 
當(dāng)sin（3x-$\frac{π}{4}$）=1，即3x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$時(shí)，解得x=$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{4}$，函數(shù)取得最小值，為y=-1，此時(shí)x的集合為{x|x=$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z}
當(dāng)sin（3x-$\frac{π}{4}$）=-1，即3x-$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$時(shí)，解得x=$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{π}{12}$，函數(shù)取得最大值，為y=1，此時(shí)x的集合為{x|x=$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{π}{12}$，k∈Z}
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤3x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z得$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{4}$，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{π}{12}$，$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z，
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤3x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z得$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{7π}{12}$，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{4}$，$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．
 （4）函數(shù)y=3cos（2x-$\frac{π}{3}$）
當(dāng)cos（2x-$\frac{π}{3}$）=1，即2x-$\frac{π}{3}$=2kπ時(shí)，解得x=kπ+$\frac{π}{6}$，函數(shù)取得最大值，為y=3，此時(shí)x的集合為{x|x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}
當(dāng)cos（2x-$\frac{π}{3}$）=-1，即2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+π時(shí)，解得x=kπ+$\frac{2π}{3}$，函數(shù)取得最小值，為y=-3，此時(shí)x的集合為{x|x=kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z}
由2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）．
由2kπ-π≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ（k∈Z），得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z），
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的最值，單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間的求解，要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．