Question

已知f（x）是R上的偶函數(shù)，若函數(shù)y=2^f（x）在x＞0時為增函數(shù)，指出y=2^f（x）在x＜0時的增減性，并證明．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)x₁＜x₂＜0，則-x₁＞-x₂＞0，
轉(zhuǎn)化為：f（x）是R上的偶函數(shù)，若函數(shù)y=2^f（x）在x＞0時為增函數(shù)，f（-x）=f（x）求解．

解答： y=2^f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減函數(shù)，
證明：設(shè)x₁＜x₂＜0，則-x₁＞-x₂＞0，
∵f（x）是R上的偶函數(shù)，若函數(shù)y=2^f（x）在x＞0時為增函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
2 f(-x1)＞2 f(-x2)，
即2 f(x1)＞2 f(x2)，
∵x₁＜x₂＜0，
∴y=2^f（x）在（-∞，0）遞減函數(shù)，

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，單調(diào)性的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決問題，屬于中等題．