已知函數(shù)f（x），當x，y∈R時恒有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）求f（0），并判斷f（x）的奇偶性
（2）若當x＞0時，有f（x）＜0，試判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并給出證明．
考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）利用賦值法以及函數(shù)奇偶性的定義即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義及，進行證明．
解答： 解：（1）令x=y=0得，則f（0）=0，
再令y=-x得f（-x）=-f（x），
所以f（x）為奇函數(shù)．
（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
則f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1），
∵x1＜x2，
∴x2-x1＞0，
∴f（x2-x1）＜0，
則f（x2）＜f（x1），
則f（x）在R上是減函數(shù)．
點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

A={y|y=x2-1，x∈R}，B={x∈R|y=
x2-1
}，則A∩B=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

證明：函數(shù)y=ax和y=a-x（a＞0且a≠1）的圖象關(guān)于y軸對稱．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+（4m+1）x+2m-1．
（1）若f（-1）=f（0），求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的值域；
（2）求f（x）在x∈[-1，1]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）是R上的偶函數(shù)，若函數(shù)y=2f（x）在x＞0時為增函數(shù)，指出y=2f（x）在x＜0時的增減性，并證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1-
4
2ax+a
（a＞0且a≠1）是定義在R上的奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a及函數(shù)f（x）的值域；
（2）關(guān)于x的不等式t•f（x）≤2x+2對任意x∈R恒成立，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）附加題：當x、y＞0時，求證f（
x+y
2
）≥
f(x)+f(y)
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下面棱柱是正四棱柱的條件有
 

（1）底面是正方形，有兩個側(cè)面是矩形；
（2）底面是正方形，有兩個側(cè)面垂直于底面；
（3）底面是菱形，且有一個頂點處的三條棱兩兩垂直；
（4）每個側(cè)面都是全等矩形的四棱柱．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過點P（1，1）且與直線
3
x+y-2=0的夾角為
π
6
的直線方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=x3+（a-1）x-1在區(qū)間（0，1）上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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