Question

【題目】已知函數 .
（1）證明： ；
（2）若對任意 ，不等式 恒成立，求實數 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解：令 ,則
當 所以
即 在 遞增；在 遞減；
所以 ，
（2）解：記 則在 上， ，

①若 ， ， 時， ， 單調遞增， ，
這與 上 矛盾；
②若 ， ， 上 遞增，而 ，這與 上 矛盾；
③若 ， ， 時 ， 單調遞減； 時 單遞增；
∴ ，即 恒成立；
④若 ， ， 時， ， 單調遞增； 時， ， 單調遞減，∴ ，這與 上 矛盾；
⑤若 ， ， 時， ， 單調遞增； 時， ， 單調遞減，∴ 這與 上 矛盾．
綜上，實數 的取值范圍是 ．
【解析】(1)設一個新的函數g(x)= f ( x ) ( x 1 )然后求導，證明其在定義域內小于等于零.
(2)設一個新的函數h（x）=ax+lnx,對a的取值進行討論，然后判斷當h=1時的值是否符合題意.