Question

已知

a

=（cosx，-

1

2

），

b

=（sinx+cosx，1），f（x）=

a

•

b

，
（Ⅰ）若0＜α＜

π

2

，sinα=

2

2

，求f（α）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（ I）由條件可得α=

π

4

，再由向量的數(shù)量積的坐標表示和二倍角公式及兩角和的正弦公式，化簡f（x），再代入計算即可得到所求值；
（ II）運用正弦函數(shù)的周期公式和增區(qū)間，解不等式即可得到最小正周期和所求增區(qū)間．

解答： 解：（ I）由0＜α＜

π

2

，sinα=

2

2

，則α=

π

4

，
由

a

=（cosx，-

1

2

），

b

=（sinx+cosx，1），
則f（x）=

a

•

b

=cosxsinx+cos²x-

1

2

=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x
=

2

2

sin（2x+

π

4

），
即有f（α）=

2

2

sin（2×

π

4

+

π

4

）=

2

2

×

2

2

=

1

2

；
（ II）由（ I）可得，f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

），
則f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

 ， k∈Z，
解得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

 ， k∈Z，
則f（x）的單調增區(qū)間為[kπ-

3π

8

， kπ+

π

8

 ]， k∈Z．

點評：本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示和二倍角公式及兩角和的正弦公式的運用，主要考查正弦函數(shù)的周期公式和單調區(qū)間，屬于中檔題．