Question

已知

a

=（

3

sin

x

4

，1），

b

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），f（x）=

a

•

b

．
（1）若f（x）=1，求sin（

x

2

+

π

6

）的值；
（2）在△ABC中，若∠B=

π

3

，求函數(shù)f（A）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，直接化簡，然后，結(jié)合二倍角公式進(jìn)行進(jìn)一步化簡，將條件f（x）=1代人，從而求得該值；
（2）利用三角形中邊角關(guān)系，結(jié)合三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）∵

a

=（

3

sin

x

4

，1），

b

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），
∴f（x）=

a

•

b

=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos²

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1+cos x 2

2

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

∴f（x）═sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

∵f（x）=1．
∴f（x）═sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

=1，
∴sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

；
（2）根據(jù)（1），知
f（x）═sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，
∴f（A）═sin（

A

2

+

π

6

）+

1

2

，
∵∠B=

π

3

，
∴0＜A＜

2π

3

，
∴（

A

2

+

π

6

）∈（

1

2

，1），
∴sin（

A

2

+

π

6

）+

1

2

∈（1，

3

2

），
∴函數(shù)f（A）的取值范圍（1，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了三角公式、二倍角公式、三角形中的邊角關(guān)系等知識(shí)，考查比較綜合，屬于中檔題．