Question

如圖，矩形ABCD是一個(gè)觀光區(qū)的平面示意圖，建立平面直角坐標(biāo)系，使頂點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)O，B，D分別在x軸，y軸上，AD=3百米，AB=a百米（3≤a≤4）觀光區(qū)中間葉形陰影部分MN是一個(gè)人工湖，它的左下方邊緣曲線是函數(shù)y=

2

x

（1≤x≤2）的圖象的一段．為了便于游客觀光，擬在觀光區(qū)鋪設(shè)一條穿越該觀光區(qū)的直路（寬度不計(jì)），要求其與人工湖左下方邊緣曲線段M，）N相切（切點(diǎn)記為P），并把該觀光區(qū)分為兩部分，且直線/左下部分建設(shè)為花圃．設(shè)點(diǎn)j′到的AD距離為t，f（t）表示花圃的面積．
（1）求花圃面積f（t）的表達(dá)式；
（2）求f（t）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由導(dǎo)函數(shù)得到切線的斜率，通過(guò)切線的方程研究切線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)交點(diǎn)位置確定圖形的形態(tài)，得到所求的函數(shù)；
（2）對(duì)（1）所求得的分段函數(shù)進(jìn)行分段研究，分別用配方法的求導(dǎo)法求出保段上的最小值，再比較它們的大小，從而得到函數(shù)的最小值．

解答： 解：（1）由題意可知P(t，

2

t

)，y′=-

2

x2

，故過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y-

2

t

=-

2

t2

(x-t)，
即y=-

2

t2

x+

4

t

（1≤t≤2）．切線l與x軸的交點(diǎn)為（2t，0），與y軸交點(diǎn)為(0，

4

t

)．
①當(dāng)

2t≤a 4 t ≤3 1≤t≤2

，即

4

3

≤t≤

a

2

時(shí)，切線左下方區(qū)域?yàn)橹苯侨�角形�?br />∴f(t)=

1

2

×2t×

4

t

=4；
②當(dāng)

2t＞a 4 t ≤3 1≤t≤2

，即

a

2

＜t≤2時(shí)，切線左下方區(qū)域?yàn)橹苯翘菪危?br />∴f(t)=

1

2

(

4

t

+

4t-2a

t2

)a=

4at-a2

t2

；
③當(dāng)

2t≤a 4 t ＞3 1≤t≤2

，即1≤t＜

4

3

時(shí)，切線左下方區(qū)域?yàn)槿�角梯形�?br />f(t)=

1

2

(

4t-3t2

2

+2t)•3=6t-

9

4

t2．
綜上，f(t)=

6t- 9 4 t2，1≤t＜ 4 3 4  ，    4 3 ≤t≤ a 2 4at-a2 t2   ， a 2 ＜t≤2

．
（2）當(dāng)1≤t＜

4

3

時(shí)，f(t)=6t-

9

4

t2=-

9

4

(t-

4

3

)2+4，當(dāng)t=1時(shí)，[f(t)]min=

15

4

＜4；
當(dāng)

a

2

＜t≤2時(shí)，f(t)=

4at-a2

t2

，f ′(t)=

2at(a-2t)

t4

＜0，
∴f(t)在(

a

2

，2]上單調(diào)遞減，[f(t)]min=f(2)=2a-

a2

4

＜4；
下面比較2a-

a2

4

與

15

4

的大小，
當(dāng)3＜a＜4時(shí)，2a-

a2

4

＞

15

4

，則[f(t)]min=

15

4

；
當(dāng)a=3時(shí)，2a-

a2

4

=

15

4

，則[f(t)]min=

15

4

．
∴[f(t)]min=

15

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題是應(yīng)用題，考查的是導(dǎo)數(shù)知識(shí)，得到的數(shù)學(xué)模型是分段函數(shù)，考查了分類(lèi)討論的思想，研究函數(shù)最小值用到配方法、導(dǎo)數(shù)法，綜合性較強(qiáng)，屬于難題．