在銳角△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，已知b=2，∠B=
π
3
．
（1）若c=2a，求面積S；
（2）求△ABC的周長(zhǎng)l及面積S的范圍．
考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理
專題：解三角形
分析：（1）利用余弦定理和a與c的關(guān)系，求得a和c，最后利用面積公式求得答案．
（2）利用余弦定理建立關(guān)于a和c的關(guān)系式，利用基本不等式分別求得ac和a+c的范圍，進(jìn)而求得三角形面積和周長(zhǎng)的范圍．
解答： 解：（1）由余弦定理知cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+4a2-4
4a2
=
1
2
，
∴a=
2
3
3
，
∴c=
4
3
3
，
∴S=
1
2
acsinB=
1
2
×
2
3
3
×
4
3
3
×
3
2
=
2
3
3
．
（2）由余弦定理知cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
(a+c)2-2ac-4
2ac
=
1
2
，整理得（a+c）2=2ac+4，
∵（a+c）2≥4ac，ac≤
(a+c)2
4

∴2ac+4≥4ac，即ac≤2；
(a+c)2-4
2
≤
(a+c)2
4
，即（a+c）2≤8，a+c≤2
2
，
∴S=2acsinB=
3
ac≤2
3
，l=a+b+c=a+b+2≤2+2
2
，
∴△ABC的周長(zhǎng)的范圍（0，2+2
2
]，面積的范圍（0，2
3
]．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了余弦定理的運(yùn)用，基本不等式的基礎(chǔ)知識(shí)．考查了學(xué)生分析和推理的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在等比數(shù)列{an}中，a3+a5=6，a4=2
2
，則a2+a6=（　�。�
A、5
2
B、4
2
C、8
D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線l1：2（m+1）x+（m-3）y+7-5m=0和l2：（m-3）x+2y-5=0，若l1⊥l2，則（　�。�
A、m=-2B、m=3
C、m=-1或3D、m=3或-2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知兩直線l1：3x-4y+7=0和l2：x=-1，點(diǎn)P在拋物線y2=4x上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到直線l，和l2的距離之和的最小值是（　　）
A、2
B、
11
5
C、
12
5
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖已知△ABC中，AB=1，AC=2，∠BAC=120°，點(diǎn)M是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)N滿足∠MAN=30°（點(diǎn)A，M，N按逆時(shí)針方向排列）．
（1）若
AN
=2
AC
，求BN的長(zhǎng)；
（2）若
AM
•
AN
=3，求△ABN面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．向量
m
=（cosA，cosB）與向量
n
=（a，2c-b）共線．
（Ⅰ）求角A的大�。�
（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列{an}中，a1cosA=1，a4=16，記bn=log2an•log2an+1，求{
1
bn
}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓x2+y2=16與圓（x-4）2+（y+3）2=r2在交點(diǎn)處的切線互相垂直，求實(shí)數(shù)r的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sinωx（
3
cosωx-sinωx）+1（ω＞0）的最小正周期為3π
（Ⅰ）求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）在△ABC中，若f（C）=2，且3sin2A=cosB-sin（B-C），求sinA的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a，b都是正實(shí)數(shù)，函數(shù)y=aex+b的圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），則
1
a
+
1
b
的最小值是
 
．

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