Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-ax²+blnx，曲線y=f（x）在M（1，f（1））處的切線方程為2x-y-2=0．
（1）試求a，b的值及函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：f（x）≤2x-2．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在M（1，f（1））處的切線方程為2x-y-2=0，可得f（1）=0，f′（1）=2，由此可求a，b的值，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可確定函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-2x+2，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得函數(shù)g（x）的最大值，故可得證．
解答：（1）解：求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=1-2ax+（x＞0）
∵曲線y=f（x）在M（1，f（1））處的切線方程為2x-y-2=0．
∴f（1）=0，f′（1）=2
∴1-a=0，1-2a+b=2
∴a=1，b=3
∴f′（x）=1-2x+=
令f′（x）＞0，∵x＞0，∴x＜，∴0＜x＜，令f′（x）＜0，∵x＞0，∴x＞，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0，），單調(diào)減區(qū)間為（，+∞）；
（2）證明：構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-2x+2，則g′（x）=-1-2x+=（x＞0）
令g′（x）＞0，∵x＞0，0＜x＜1，令g′（x）＜0，∵x＞0，∴x＞1，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）；
∴x=1時，函數(shù)g（x）取得最大值為f（1）=0
∴g（x）≤0
∴f（x）≤2x-2．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最值．