Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程是；（2）的取值范圍為．

【解析】

試題（1）求橢圓的方程，已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為，故可用待定系數(shù)法，利用焦點(diǎn)為可得，利用過(guò)點(diǎn)，可得，再由，即可解出，從而得橢圓的方程；（2）求的取值范圍，由弦長(zhǎng)公式可求得線(xiàn)段的長(zhǎng)，因此可設(shè)，由得，，則是方程的兩根，有根與系數(shù)關(guān)系，得，，由弦長(zhǎng)公式求得線(xiàn)段的長(zhǎng)，求的長(zhǎng)，需求出的坐標(biāo)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，可得，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，故先求出線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程，令，既得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得的長(zhǎng)，這樣就得的取值范圍．

試題解析：（1）由題意得解得，．

所以橢圓的方程是． 4分

（2）由得．

設(shè)，則有，，

．所以線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程為．

于是，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，又點(diǎn)，

所以．

又．

于是，．

因?yàn)?/span>，所以．所以的取值范圍為． 14分